拉普拉斯变换数值求解高振荡问题及其应用

【摘要】高振荡问题广泛出现在数学和许多的自然科学其它领域.当振荡频率提高时,使用传统的求解方法将越困难.在本篇博士学位论文中,主要用Laplace变换作工具,来关注Filon型的积分计算方法.这一思想沿用于某些类型的微分方程和积分方程,应用于光学衍射计算.全文结构安排如下：第一章介绍了几种高效计算高振荡积分的方法并简述Laplace变换.当像函数的奇点为极点时,其逆Laplace变换可根据Cauchy留数定理直接计算,而当奇点为分支点时,应将像函数单值切割,化作围道积分来处理.该围道积分通常用特殊函数表示,较难快速计算.然而,如不求准确解而改求渐近解时,在既有文献中用特殊的围道和相关的W变换得到了便于计算高频的渐近定理.第二章讨论高振荡Fourier型积分的高效计算.首先,根据W变换的渐近定理,得到两端点有分支的Fourier型矩积分的渐近展开式.在求积区间两端点对振幅函数的充分光滑部分进行Hermite插值,将常规Fourier积分转化为矩积分的渐近展开式来计算；该方法适用于振幅函数为复合分支函数、广义Fourier积分的振荡子含有驻点的情形；本章改写了Watson引理,在某个角域全纯有界的条件下,改写后的渐近展开式适用于虚宗量的情形；在本章中,基于Taylor展式,还给出了一种化振荡被积函数为平缓函数的求积方法.第三章讨论其它类型含大参数核函数积分的高效计算.这些核函数包括Bessel函数、根式变量Bessel函数、Airy函数、Fourier与第一类Bessel函数乘积、Fourier与第二类Bessel函数乘积.核函数性态多样,或高频振荡,或指数增长,或指数衰减.本章分析它们的渐近性质的方法包括在极点处计算留数、在分支点处单值切割、处理本性奇点或正则函数的鞍点法.计算这些积分的Filon型方法相关的插值规律随具体核函数和幅函数的变化而呈多样：有Hermite插值、Taylor展开、在实轴上其它点的插值、甚至插值点不在实轴上等情况.第四章讨论含大参数的若干类型的高振荡微分方程与积分方程的数值解法.我们通过Laplace变换,将这些微分、积分方程的解转换为相应的积分的表达式,然后应用第二、三章所述求积方法来求解.此外,本章讨论了使用高阶导数来求解常微分方程的一种离散格式.第五章讨论在光学衍射计算中的应用.以抛物线为例,介绍一般孔径的夫琅禾费衍射计算；计算焦点附近三维光状态分布的菲涅耳衍射所涉积分时,用Laplace变换导出了既有的两个计算式子,且可望在更大范围内获得统一、完整的表达式.第六章总结.传统的近似积分法是用被积函数值的线性组合来逼近积分.本文关注的渐近积分法或Filon型方法与传统的近似积分法十分不同.本文也说明了亟待更统一的理论与计算方式,以适应更高的实际计算要求.
【作者】周永雄；
【导师】向淑晃；
【作者基本信息】中南大学，数学，2013，博士
【关键词】Laplace变换；奇点；Filon型方法；渐近展开；插值；衍射积分；

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