孔隙介质中非常规溶质径向弥散规律解析及数值模拟研究

【摘要】径向弥散是指在孔隙介质中,溶质在径向流场下的对流和弥散过程。例如,为了获取含水层的物理性质,通常将示踪剂通过注水井注入含水层中,示踪剂在井附近的迁移过程被称为径向弥散过程。除此之外,还有许多物质在井附近的迁移过程可以用径向弥散来描述,包括在修复被污染的含水层时,某种化学物质或者微生物被注入含水层中；在开发地热资源时,热在井附近的迁移规律；还有CO2被注入含水层中的迁移规律等。通过仔细调研国内外的文献发现,虽然目前关于径向弥散的研究成果很丰富,但是也仍然存在很多问题,例如前人关于径向弥散的研究大多集中于单一含水层中,往往忽略或者弱化了相邻弱透水层的影响、忽略了井附近的表皮效应的影响、假设吸附和解析作用与流场无关、忽略了含水层的产状对弥散的影响等。在考虑了这些因素后,传统的径向弥散规律可能会发生很大的变化,为此本研究将这种溶质迁移规律称为非常规径向弥散。本研究主要从解析法、数值法和参数反演三个方面综合研究孔隙介质中非常规径向弥散规律。第一部分是解析法：导出一些新的解析解。与数值法相比,解析法对数学模型及边界条件有较强的限制,对于实际问题这些条件一般难以满足,因此许多人倾向于数值法。然而,采用数值法求解径向弥散问题时,可能会产生较大的误差。其主要原因在于井附近地下水流速较大,导致径向弥散控制方程(对流-弥散方程)是对流占优的,因此,数值解可能会产生一些虚假数值现象,例如数值弥散和数值波动。另外,在含水层-弱透水层界面处,由于介质的不连续性,导致数值解也会产生较大的误差。为此,本研究导出了一些新的解析解,包括含水层-无限厚弱透水层系统中径向弥散解析解、含水层-有限厚弱透水层系统中径向弥散解析解、含水层-弱透水层系统中考虑表皮效应的径向弥散解析解、考虑复杂吸附解析作用的径向弥散解析解。这些解不仅可以用来分析和预测溶质径向弥散规律,而且还可以用来反求参数。与数值解相比,这些解更加便于计算,更加稳定,而且计算效率高。下面分别这些解析解的特点。基于弱透水层的低渗透性和低有效空隙度,许多研究将其作为含水层天然的屏障,即将弱透水层处理成隔水层。近年来,大量研究表明,弱透水层的总空隙度大且对污染物的吸附能力强,因此,从长期的角度而言,将弱透水层处理成隔水边界可能会导致很大的误差。1985年,Chen提出了含水层-弱透水层系统中径向弥散的新理论,并推导出新的解析解,随后该理论被广泛地应用于模拟和预测径向弥散问题。然而,该理论包含几个重要的假设条件：第一假设含水层垂向的平均溶质质量作为进入弱透水层的质量；第二假设透水层中只存在分子扩散作用；第三假设含水层中的垂向弥散作用可以忽略。Zhanetal.在2009年指出该理论仅适合于模拟溶质在裂隙-含水层介质系统中运移问题,并称该解为AA解。在含水层-弱透水层系统中,含水层的厚度往往很大,含水层的垂向弥散效应不可忽略。另外,当作用于弱透水层上的水力梯度很大时,即便渗透性很小,其对流作用也可能会很大,因此弱透水层中的弥散和对流作用不可忽略。为此,本研究建立了含水层-弱透水层系统下新的反应径向弥散模型,其中在弱透水层中考虑了对流、弥散和分子扩散作用、吸附解析和一级化学反应；在含水层中考虑了径向对流、径向弥散、垂向弥散、吸附解析和一级化学反应作用。弱透水层和含水层中的溶质迁移通过界面处的浓度和浓度通量连续耦合起来,并采用Laplace-Fourier变化导出新的解析解。本研究的解是AA解的拓展和推广。采用COMSOLMultiphysics求解了本研究的径向弥散数学模型,结果表明当弱透水层和含水层的参数差别比较小时,本文解和COMSOLMultiphysics数值解吻合较好。通过与AA解相比发现：a)当弱透水层中水流方向向上时,AA解低估了进入上部弱透水层溶质质量,而高估了进入下部弱透水层溶质质量。b)AA解高估了进入上部弱透水层溶质质量的速率。c)本研究的解和AA解对应的穿透曲线斜率(RTD)最大值的时间几乎是一致的。因此,若采用AA解来评价被污染含水层的修复问题时,可能会高估注入液的量,延长含水层的修复时间,从而增加含水层的修复成本。大量研究表明,与含水层的厚度相比,弱透水层的厚度往往较大,然而,Bradburyetal.在2007发现在美国的卡罗来纳南部的某地方弱透水层的厚度很小。针对这个问题,Rezaeietal.在2013年提出了有限厚度弱透水层-含水层系统中溶质迁移的新理论。在Rezaei的新理论中,假设含水层中的流速处处相等,因此不适合求解径向弥散问题。为此,本研究建立了有限厚度弱透水层-含水层系统中反应溶质径向弥散问题的数学模型,并导出了新的解析解。该概念模型考虑了弱透水层中的对流和水动力弥散作用、吸附解析和一级化学反应；在含水层中考虑了径向对流、径向弥散、垂向弥散、吸附解析和一级化学反应。结果表明：a)当弱透水层与含水层垂向厚度之比小于2.0时,弱透水层的垂向厚度不可忽略。b)弱透水层与含水层垂向厚度之比越小,本文解与无限大弱透水层解差别越大,而且这种差异在上部弱透水层比下部弱透水层更明显。c)当弱透水层和含水层垂向厚度之比很小时,无限大弱透水层解高估了进入弱透水层溶质的质量。d)本文解对应的穿透曲线(BTC)值随着弱透水层和含水层垂向厚度比的减小而减小。虽然无限大弱透水层解是有限大弱透水层解的一个特例,但是有限大弱透水层解的形式更为复杂,因此,当两者差别叮以忽略时,建议采用无限大弱透水层解来研究径向弥散问题。不论是注水井还是观测井,在钻井的过程中,井附近的含水层往往会受到一定程度上的破坏,这种现象被称为表皮效应。若使井周围的含水层渗透性变小为正表皮,反之为负表皮。传统的研究中,往往忽略了表皮效应对径向弥散的影响。本研究建立了含水层-弱透水层系统中考虑表皮效应的新理论,并导出了新的解析解。设Ω是表皮效应区的弥散度和含水层弥散度的比值。本研究结果表明：a)BTC随着Ω增大而增大,而RTD随着Ω的增大而减小。b)RTD最大值对应的时间不随Ω的变化而变化。c)当弱透水层中水流方向向上时,上部弱透水层中的BTC随着Q的增大而增大,而下部弱透水层对Ω不敏感。正表皮效应对径向弥散的影响更大,不可忽略。与地表水不同,溶质在孔隙介质中迁移时,往往会与空隙骨架发生一系列复杂的吸附和解析作用,前人的研究假设吸附解析系数是常数(称为VIS模型),这与许多近期的室内实验结果不符合。通过收集和分析现有的实验数据,本研究发现吸附解析系数与地下水流速的相关性极强。根据实验数据,本研究建立了混合平衡-动力的吸附解析模型(称为VDS模型1,其中吸附解析系数是速度的线性函数,同时,本研究将该吸附解析模型应用于径向弥散问题,并建立了径向流场下反应溶质径向弥散模型。由于该模型的控制方程是非线性的对流-弥散方程,采用传统的方法很难推导出对应的解析解。为此,本研究提出一种新的求解方法：首先对模型线性化,然后采用Laplace变换法求解该模型的解析解。通过与数值解的对比,结果表明新的解析解精度很高。为了探究流场对反应溶质径向弥散的影响,本文采用Laplace变换法推导出了VIS模型的解析解。通过对比分析VDS解和VIS解,结果表明在初期VDS解的BTC大于VIS解的BTC。对于VDS解,解析系数越大,溶质吸附反应达到平衡的时间就越短。相反,解析系数越小,溶质反应达到平衡的时间就越长。Laplace变化法或者Laplace-Fourier变化法被广泛用于推导径向弥散的解析解。由于Laplace空间下解析解的复杂性,很难采用Laplace逆变换获取实空间下的解,于是常采用数值法来实现Laplace逆变换。目前关于数值反Laplace变换的研究有很多,例如Stehfest法、deHong法、Honig-Hirdes法、Schapery法、Talbot法、Weeks法、Simon法和Zakian法,许多研究表明每一种数值逆变换法只适用于某一类特殊问题。另外,每一种数值反Laplace变换法都包含一个或者几个待定的自由参数,前人针对不同的问题,总结归纳出了这些未知参数的经验值。通过仔细查阅国内外的文献发现,目前关于径向弥散问题的数值反Laplace变换法研究很少,然而许多科学家和工程师都想知道：哪一种数值反Laplace变换法适合于径向弥散问题?每种方法中的经验参数取值范围是否仍然适合于径向弥散问题呢?为此,本研究首先归纳总结了Stehfest法、deHong法、Honig-Hirdes法、Schapery法、Talbot法、Weeks法、Simon法和Zakian法这八种方法的特点,然后将COMSOLMultiphysics的计算结果作为参考值,评价每一种方法的计算精度和效率,同时检验每一种数值法中经验参数的取值范围。结果表明前人给出的经验参数值,许多值不适合径向弥散问题,尤其是对流占优问题。最后,本研究采用试算法重新修正了每个经验参数的取值范围。我们发现不论是对流占优还是弥散占优问题,Schapery法的计算结果误差都很大,而deHong法、Talbot法、和Simon法计算精度很高。Weeks法不适合求解对流占优问题。当对流占优时,Stehfest法、Honig-Hirdes法和Zakian法中的经验参数值不容易确定,不建议使用。第二部分是数值法：针对倾斜含水层中地下水和溶质运移问题,对传统的差分格式进行修正,并基于MODFLOW和MT3DMS软件包开发了新的软件包MODFLOW-SP和MT3DMS-SP用于模拟倾斜含水层中地下水和溶质运移问题。对于径向弥散问题,有限差分法矩形网格远不及有限单元法中的三角形网格。对于实际问题,研究区的水动力条件往往比较复杂,尽管MODFLOW-2000和MT3DMS两个软件包是基于有限差分法来求解偏微分方程的,但是由于这两个软件包的综合功能非常强大,因此被广泛用于模拟井附近地下水及溶质迁移规律。采用MODFLOW-2000和MT3DMS来求解地下水和溶质在倾斜含水层中的运移问题时,常采用非水平(Non-Horizontal-Model-Layer,NHML)单元格来剖分研究区域。因为相比水平(Horizontal-Model-Layer,HML)单元格系统,NHML单元格系统对倾斜含水层刻画的精度和仿真性高,从而降低数值模拟计算量。然而,在MODFLOW-2000中,无论NHML网格系统还是HML网格系统,在处理倾斜含水层问题时都采用Dupuit-Forchheimer假设。许多研究表明这个假设只适用于斜率小于0.10的含水层。MT3DMS也存在类似的假设。对于实际问题,含水层的倾角有可能很大,尤其是山坡含水层(hillslopeaquifer)、裂缝含水层。因此当含水层倾角很大时,若采用MODFLOW-2000和MT3DMS来求解地下水和溶质迁移问题时会产生不可忽略的误差。本研究首先综述了倾斜潜水含水层中模拟地下水问题的数值解和解析解,分析了MODFLOW-2000存在的问题,基于NHML网格系统提出了新的数值方法,并开发了新的软件包MODFLOW-SP。结果表明MODFLOW-SP解与MacCormack在2003年给出的数值解相同；MODFLOW-2000解和MODFLOW-SP解的差别只有在含水层斜率小于0.27时可以忽略。在稳定流条件下,除了边界附近很小的区域,水流方向与含水层底板是平行的。通过与COMSOLMultiphysics的计算结果相比,发现MODFLOW-SP可以用于计算E’-V-F’剖面的水头值(见图7.2B),而且当斜率小于0.5时,其误差可以忽略；当斜率为0.75时,误差不大；当斜率等于1.0时,其误差比较明显。同时,本研究基于NHML网格系统提出了求解倾斜含水层中溶质运移问题的数值方法,并开发了新的软件包MT3DMS-SP。结果表明,MT3DMS解与MT3DMS-SP解差别随着含水层倾角的增大而增大。与MODFLOW-SP数值解类似,MT3DMS-SP可以用于计算E’-V-F’剖面上的浓度。通过与COMSOLMultiphysics的计算结果相比,当斜率小于0.75时,MT3DMS-SP解误差可以忽略。当倾角含水层倾角为0时,MODFLOW-SP和MT3DMS-SP会自动变为MODFLOW和MT3DMS,MODFLOW-SP和MT3DMS-SP不仅可以用于模拟潜水含水层问题,还可以用于模拟倾斜承压含水层中水流和溶质迁移问题。第三部分是参数反演：针对对流-弥散问题,提出一种新的反求参数方法。在模拟溶质运移问题时,参数选取的精度直接影响计算结果的仿真性。参数反演常用的方法之一是首先通过实验获取测穿透曲线,然后采用反误差函数法(InverseErrorFunctionMethods,IEFM)、或者遗传算法、或者模拟退火等其它优化算法来求弥散系数和流速。大量研究表明,针对对流-弥散的参数反演问题,优化算法的计算结果对初始值的选取很敏感,计算耗时较长,而且可能会陷入局部最优,因此IEFM被广泛用于求解对流-弥散问题的参数。然而,本研究证明了IEFM存在误差,主要原因在于实测数据存在误差,这种误差往往服从正态分布,而在反误差函数空间下,该误差不服从正态分布。本研究提出一种计算弥散系数和流速的新方法：加权最小二乘法(WeightedLeastSquaresMethod,WLSM)。WLSM将BTC分为三部分,初期,中期和晚期,并利用这三部分曲线的性质,通过实测BTC的斜率计算权重。通过与遗传算法和CXTFIT软件反求参数结果对比,发现WLSM的计算结果与这两种方法的结果是一致。为了验证该方法的实用性,本研究进行了三组实验,砂柱的介质分别为粗砂、砾石、及砂砾混合。在稳定流场下,砂柱的一端通入定浓度的溶液(NaCl),然后在砂柱的另一端测浓度BTC。结果表明采用实测BTC的中期数据,IEFM计算结果误差较小,若采用所有的实测BTC数据,IEFM计算结果误差很大。然而WLSM与数据选取没有关系,计算结果误差很小。综上所述,本研究主要从三个方面展开溶质径向弥散规律的研究：解析法、数值法和反求参数(实验)。在解析法方面,本研究针对不同的概念模型采用Laplace-Fourier变换法推导出一些新的解析解。基于实验数据,建立一个新的吸附解析模型,并针对该问题,本研究提出一种新的解析方法。另外,针对径向弥散问题,本研究综述了八种数值反Laplace变化法,对每一种方法的自由参数值进行了讨论。在数值法方面,主要考虑含水层倾角对地下水和溶质迁移的影响,提出新的数值模型,并基于MODFLO-2000和MT3DMS源代码开发了两个软件包MODFLOW-SP和MT3DMS-SP。在反求参数方面,本研究证明了IEFM方法存在误差,并提出一种新的求解方法WLSM。结果表明采用BTC中期数据反求参数时,IEFM方法计算结果的误差较小,若采用所有的实测BTC数据,IEFM计算结果误差很大。然而WLSM与数据选取没有关系,计算结果误差很小。
【作者】王全荣；
【导师】唐仲华；詹红兵；
【作者基本信息】中国地质大学，水文学及水资源，2014，博士
【关键词】径向弥散；解析解；数值解；模拟；参数估计；

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