具有退化平衡点的微分方程的可约化性

【摘要】上世纪五、六十年代由三位著名数学家Kolmogorov[59],Arnold[1]和Moser[29]建立起来的经典KAM理论是哈密顿系统理论发展的里程碑,具有划时代意义,它使人们能够以一种新的方法来研究哈密顿系统。建立在2n维光滑辛流形上的经典KAM理论断言,在Kolmogorov非退化性条件下,可积系统的大多数非共振不变环面在小的摄动下保持下来。在Poincare的博士论文中,他提出化标准形的理论是最早的线性常微分方程的可约化性理论。该理论给出了微分方程在平衡位置或周期运动附近可能化成的最简单形式。很多人利用KAM迭代的方法来研究微分方程的可约化问题。拟周期系统可约化问题的研究是很有意义的,得到了广泛的关注,并有了些成熟的结果([13],[16],[30],[33],[44],[45],[61],[63]等)。概周期系统的研究一直以来也广受大家的关注,相对于前面拟周期系统的丰富的结果,成果较少([35],[36],[38]等)。在前人工作的基础上,本文利用KAM迭代的方法研究了两类微分方程的可约化性问题。本文具体安排如下：第一章,简单介绍了KAM理论和微分方程摄动理论的发展状况,利用KAM迭代的技巧来解决摄动问题。同时介绍了国内外关于可约化理论的研究现状及本文的主要结果。第二章,我们将先利用KAM迭代的技巧证明如下具有两个参数的概周期微分方程的正规形定理。接下来利用上面的结果来研究一类非线性概周期微分方程:其中n≥0是一整数,A是一正数,e为小参数,h是高阶项,f是小摄动项。在研究(0.2)时,需要下面的条件：(H1)函数α,h和f关于所有变量是实解析的,同时关于t是概周期的,其频率向量为ω=(ω1,ω2,….),它们具有有限空间结构(τ,[.])；是一个逼近函数；当上述三个条件成立时,则存在充分小的∈>0,使得当时,存在一个仿射的实解析概周期变换x=y+u(t)。通过此变换,方程(0.2)变成x=u(t)是方程(0.2)的关于t实解析的概周期解.第三章,我们将研究一类具有退化平衡点的四维拟周期微分方程的可约化性。对于四维拟周期系统：同时关于t是拟周期的,频率向量为ω=(ω1,ω2,…,ωm).设h是高阶项f是低阶项条件。则存在一个充分小的ε>0,使得当||f||r,δ≤ε和||f||ε,δ≤ε4时,存在一个实解析的拟周期变换同时该变换把系统(0.4)变成其中与h有相同的形式.而且同时
【作者】邱汶华；
【导师】司建国；
【作者基本信息】山东大学，基础数学，2014，博士
【关键词】KAM理论；拟周期解；概周期解；可约化理论中图分类号；O175；

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