解线性方程组的几种迭代法的收敛性分析

【摘要】摘要在科学与工程等领域,常常需要求解大型稀疏线性方程组.尽管计算机技术发展迅猛,但对大型稀疏线性方程组,求解过程存储量大、花费时间长和计算复杂度高等都是人们不得不面临的挑战.因此建立计算量小和数值稳定的算法是该领域有待解决的问题.由于迭代法具有节省内存开销,易于并行处理、求解速度快等优点,近几十年来一直是该领域中比较活跃的研究课题.众所周知,迭代法的收敛性及收敛速度是其应用的理论依据.为改善收敛性及收敛速度,研究者们将外推技术和预处理技术用于经典迭代法,分别得到了相应的外推迭代法和预条件迭代法,并取得了丰富的研究成果,但仍有许多问题值得研究.例如,对不同矩阵类,外推迭代法的收敛性仍需进一步分析.特别地,外推Gauss-Seidel迭代法的收敛性及其与特殊矩阵类的关系还需深入探讨；而对经典的预条件迭代法,能否将其推广和改进,得到更一般、有效和实用的预条件迭代法也值得研究.此外,由于并行计算的优势,研究者们提出了二级迭代法,并对其收敛性以及内迭代次数对收敛速度的影响等问题进行了研究.但与外迭代法相比,其收敛性是否得到改善,收敛速度是否被提高等问题还有待讨论.基于上述考虑,本文研究了几种迭代法的收敛性.1.讨论了外推Gauss-Seidel迭代法的收敛性及其与H-矩阵的关系.首先,给出了外推Gauss-Seidel迭代法与Jacobi迭代法的收敛性关系及收敛的参数范围.其次,利用最优尺度矩阵,得到了H-矩阵外推Gauss-Seidel法谱半径的上界估计.此外,基于Gauss-Seidel迭代法及其外推法,分别得到了H-矩阵的几个等价条件.2.研究了定常二级和定常交替二级迭代法的收敛性.在适当的条件下,给出了定常二级迭代法与其外迭代法(标准迭代法)的比较结论,即对恰当的分裂,外迭代法的收敛速度比定常二级迭代法快.同时,对定常交替二级迭代法,也得到了类似的结论.3.探讨了预条件AOR迭代法.首先,对预条件子I+C中的‘r,t’,提出了一种新选择.对非奇异M-矩阵,证明了新选择下预条件AOR迭代法是收敛的,而且比原迭代法具有更快的收敛速度.其次,当系数矩阵是严格对角占优的L-矩阵时,利用矩阵分裂理论,获得了带有预条件子Pα1→k的预条件AOR迭代法的收敛性结论及参数对收敛速度影响的比较定理.理论结果不仅表明当其参数值较大时,这类预条件方法更为有效,而且推广了Li等人关于预条件Gauss-Seidel迭代法的相关结论.最后,提出了一类块预条件子以及相应的预条件块AOR法和多级预条件块AOR法,并分析了它们的收敛性.当系数矩阵为非奇异Z-矩阵和严格对角占优的Z-矩阵时,分别给出了块AOR法、预条件块AOR法及相应的多级预条件块迭代法收敛性的比较结论.所得结果表明预条件块AOR法加快了原块迭代法的收敛速度,而多级预条件块迭代法则逐步加快了收敛速度.全文用数值算例说明了所得结果的正确性.
【作者】薛秋芳；
【导师】高兴宝；
【作者基本信息】陕西师范大学，基础数学，2014，博士
【关键词】外推Gauss-Seidel迭代法；二级迭代法；预条件AOR迭代法；多级预条件；收敛性·；

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