Darcy-Stokes问题的一致收敛有限单元及离散的de Rham复形

【摘要】奇异摄动问题是指最高阶导数项含有小参数￡的微分方程,其解存在指数边界层或内部层.奇异摄动问题广泛应用于流体力学、弹性力学、量子力学、光学、和最优控制等领域.例如,流体力学中的Darcy-Stokes方程,Navier-Stokes方程,多孔媒质的流体方程,化学反应中的反应方程等等.这类问题中含有扰动参数,这种参数可以反映一定的物理性质,也可以人为的引进.摄动方程的真解往往会在求解区域的某个子区域内变化剧烈,此类问题重要但是其真解具有不确定性.由于奇异摄动问题的解通常和扰动参数￡有关,我们就从这个角度出发,构造一致收敛的有限单元,收敛性分析与￡无关.本文主要研究了Darcy-Stokes问题,给出了二维空间中的H(div)协调的一致收敛的矩形元和三维空间中的H(div)协调的一致收敛的立方体元和四面体元,进行了误差分析,也相应给出了相应的离散的deRham复形.本篇博士从下面三个部分来讨论.首先,我们讨论的是二维空间中的Darcy-Stokes的奇异摄动问题.构造并分析了一H(div)协调的有限元DSR14,是速度的有限元空间,速度空间的元素有14个自由度,进而可以证明它是一致收敛的,然后进行了收敛性分析,接着,又进一步简化了速度有限元空间,得到另一个速度的有限元空间DSR12,自由度个数12,同样可以证明它的一致收敛性.最后构造了相应的离散的deRham复形.其次,我们继续讨论三维空间中的Darcy-Stokes的奇异摄动问题,构造了立方体元DSC33.速度有限元空间Vh是H(div)协调的,也即是说,任意的vh∈Vh的法向量跨过单元边界连续,同时切向量也跨过单元边界平均连续,因此Vh是日1平均连续.我们证明了这个单元的一致收敛性,且与扰动数8无关.另一方面,我们构造了一个离散的deRham复形.最后,我们构造了Darcy-Stokes问题的四面体元DST20,这个单元简化了文[93]给出的单元.速度有限元空间Vh是H(div)协调的,任意的vh∈Vh的法向量跨过单元边界连续,同时切向量也跨过单元边界平均连续,因此Vh是H1平均连续.我们证明了这个单元的一致收敛性,与扰动数ε无关.最后,给出了相应离散的deRham复形.
【作者】董李娜；
【导师】陈绍春；
【作者基本信息】郑州大学，基础数学，2014，博士
【关键词】奇异摄动；Darcy-Stokes方程；H(div)协调；一致收敛；矩形元；立方体元；四面体元；混合有限元方法；误差估计；离散的deRham复形；

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