几类Navier-Stokes系统的整体正则性问题

【摘要】本文讨论流体力学中几类Navier-Stokes方程组的整体适定性和正则性问题,以及局部正则解的爆破准则.在前两章中引进一些必要的记号,预备知识和已知结果后,我们首先在第三章研究了一类带质量扩散的非齐次不可压Navier-Stokes方程,即广义Kazhikhov-Smagulov模型,在二维情形证明了其初(一边)值问题解的整体适定性,即对初值没有大小限制条件下整体正则解的存在性,唯一性和稳定性.其次在第四章中研究了上述模型在可压缩情形下的类似,即Brenner提出的带质量扩散的可压缩N-S方程,得到了类似的结果,并且在三维情形证明了解的弱强唯一性和正则解的爆破准则.最后在第五章中研究了经典的可压缩Navier-Stokes(-Fourier)系统局部正则解的一些爆破准则,即速度的Lipschitz有界性控制解的正则性.相对于已知的结果,这里我们着重处理比较一般的情形,即粘性系数(和热传导系数)可能依赖于密度(和温度),以及非理想流体.在我们研究的情形中,相对于已知的结果,主要困难在于粘性系数依赖于密度或流体是可压缩的.为了克服这种困难,我们发展了一套比较一般的处理方法,即利用质量方程中的扩散项,由DeGiorgi-Nash-Moser迭代先证得密度的Holder估计(不可压情形)或上下界(可压缩情形),由此再利用能量方法和椭圆估计得到解的整体先验估计.结合解的局部存在性,就得到了相应方程组初一边值问题整体正则解的存在性或局部正则解的爆破准则.我们相信这个方法能应用于更多流体力学中类似方程组的研究.
【作者】蔡小云；
【导师】廖良文；
【作者基本信息】南京大学，基础数学，2014，博士
【关键词】Navier-Stokes方程组；适定性；正则性；整体解；爆破准则；

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