代数曲线与孤子方程的拟周期解

【摘要】本文的主要内容是基于代数曲线理论来研究孤子方程的Riemanntheta函数表示形式的拟周期解,分别研究了Hu族,耦合修正Korteweg-deVries族,Vakhnenko方程和一族新的耦合非线性演化方程等四个可积系统.此外,为了将该领域的研究推广到超可积系统中,本文还研究了两个超可积系统:超向量非线性Schro¨dinger族和超耦合导数非线性Schro¨dinger族.第二章研究了Hu族流的拉直与拟周期解的构造,利用驻定情况的Lax矩阵的特征多项式构造双叶紧致Riemann面KN,在KN上研究亚纯函数的渐近展式以及因子,给出了整个方程族流的拉直公式,借助于亚纯函数的表示式,给出Hu族解的Riemanntheta函数表示.第三章到第五章分别构造了耦合修正Korteweg-deVries族,Vakhnenko方程和一族新的耦合非线性演化方程族的拟周期解,这三个问题共同的特点是与3×3矩阵谱问题相联系,需要在三叶紧致Riemann面上去考虑,与2×2的情况相比需要更大的计算量和更强的技巧性.利用零曲率方程导出非线性演化方程,通过驻定情况的Lax矩阵引入三叶紧致Riemann面,在其上定义Baker-Akhiezer函数及亚纯函数,通过分析得到因子和渐近性质,由Riemann-Roch定理给出Baker-Akhiezer函数和亚纯函数的表示式,据此表示式得到非线性演化方程的拟周期解.与此同时,每一章又有各自的特点.在第三章中,Riemann面具有三个无穷远点,均不为分支点,这种情况在三叶Riemann面的研究中很少.第四章研究的Vakhnenko方程为相应方程族负幂流中的一个约化方程,引入的Riemann面具有一个无穷远点,为三重分支点,在分析亚纯函数的渐近展式时,需要同时考虑无穷远点和零点.第五章研究了一族新的耦合非线性演化方程族,相关的Riemann面具有两个无穷远点,其中一个是二重分支点,一个不是分支点,因此在局部坐标的选取以及亏格的计算上都与第三章和第四章是不同的.第六章从两个不同的3×3谱问题出发,推导了两族超方程族,分别给出其超双-Hamiltonian结构以及无穷多守恒律.
【作者】翟云云；
【导师】耿献国；
【作者基本信息】郑州大学，基础数学，2014，博士
【关键词】代数曲线；Baker-Akhiezer函数；亚纯函数；拟周期解；超双-Hamiltonian结构；无穷多守恒律；

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