两水平一般最小低阶混杂设计的构造

【摘要】统计学是通过观察或者收集获得数据资料及分析来认识世界的通用科学。试验设计是研究如何对观测对象进行观察以最有效地获得数据和进行数据分析的统计学分支,在统计学的发展中起着重要作用。在研究客观世界的对象中,大多数响应变量往往受到多个因子的影响,因此涉及多因素的试验和观测问题是试验设计的主要研究课题。为试验具有可操作性,对试验中的每个因子通常考虑若干水平设置,各因子间的一个水平搭配叫做一个处理组合,每次试验即是一个处理组合的试验。我们把由若干处理组合组成的试验叫做因子分析试验,相应的设计统称为因子分析设计,简称因析设计。如设计包含所有的处理组合则称之为完全因析设计(FullFactorialDesign),否则称之为部分因析设计(FractionalFactorialDesign)。在实际中,当因子个数较多时完全因析试验往往超出物力、财力和时间的承受能力而不能实现,因而部分因析试验才常常是实际可行的。正因为这样,如何选择最优的部分因析设计及其数据分析方法成为统计学家重点关心的课题。自上世纪六十年代以来,因析设计的最优性理论研究获得了长足的发展。至今已提出若干最优性准则并得到广泛应用(见文献)。其中常见的有,最大分辨度(MaximumResolution(MR))准则、最小低阶混杂(Min-imumAberration(MA))准则、纯净效应(ClearEffects(CE))准则和最大估计容量(MaximumEstimationCapacity(MEC))准则。特别要提到的是2006年由Zhangetal.[66]提出的一般最小低阶混杂(GeneralMinimumlower-orderCon-founding(GMC))准则。其不同于以前的准则在于提出了一个新的用来分类设计的模式,叫做混杂效应个数型(AliasedEffectNumberPattern(AENP)),该模式包含有关设计各阶因子效应间混杂的最小充分信息,基于该分类模式和效应排序原则(EffectHierarchyPrinciple(EHP))建立了GMC准则。由该准则得到的最优设计叫GMC设计。GMC设计在实际试验中具有广泛应用,特别是已经证明当试验者具有对试验因子的重要性排序的先验信息时,GMC类型的最优设计是一种最优选择。试验的因子不是同等重要是实际试验中的常见情形,这就决定GMC设计的重要性。我们把建立在以AENP为基础上的最优性理论叫GMC理论。GMC理论在这几年里获得迅速发展,取得大量成果。证明了MA、CE和MEC等现有各准则都可以通过AENP的函数来表达,更深入地揭示了现有各个准则的本质、区别和联系,证明了当只考虑一阶和二阶因子效应时MA和MEC两准则是等价的,这些表明GMC理论能成为现有准则的一种统一表达理论(见文章和)。已将两水平AENP和GMC准则推广到了一般的s(s为素数或素数幂)水平正规设计的情形(见文章)；两水平GMC设计的构造获得重大进展(见文章)；建立了若干情形的分区组因析设计的GMC准则理论,并且相应区组GMC设计的构造获得若干重要进展(见文章),而且GMC理论已推广到裂区设计和稳健参数设计(分别见文章和)；还有,AENP和GMC准则被推广到了非正规部分因析设计的情况(见和),等等。作为GMC理论的延伸,文章提出F-AENP的概念,研究了正规设计每个因子有关效应在设计中被混杂的程度并得到参数5N/16+1≤n≤N-1时的GMC设计列的优劣排序,用以解决当有了好的设计之后如何最优地安排因子进行试验的问题。虽然如上所述,已经完成有关GMC理论的许多工作,但仍有大量的重要问题需要解决而未解决的问题。例如,参数范围n≤N/4内的全部两水平GMC设计的构造,参数范围n≤5N/16全部两水平分区组B-,B1-和B2-GMC设计的构造,有关一般s水平相应GMC类设计和构造问题,以及这些设计的最优因子安排问题,等等,都是实际试验中遇到需要解决的问题。本文致力于解决上述问题并得到部分答案。在第一章中我们首先简单介绍试验设计的发展和及常见的设计分类。然后简要介绍了几个常用最优性准则,包括最大分辨度(MR)准则、最小低阶混杂(MA)准则、纯净效应(CE)准则和最大估计容量(MEC)准则的概念和符号表示。在第二章重点回顾了近年来提出的一般最小低阶混杂(GMC)理论及其发展。包括GMC理论提出背景,GMC准则与其它最优准则之间的关系以及GMC设计在因析设计各方面的最新发展情况。在后面的几章重点介绍我们完成的若干工作。首先,在第三章介绍我们关于两水平GMC设计构造的成果。对于任意给定的两水平正规设计的试验次数参数N=2q,两水平GMC2n-m设计(其中n-m=q)的因子个数参数n可以取q,q+1,…,N-1。如上所说,Li,Zhao&Zhang[34],Zhang&Cheng[64]和Cheng&Zhang[21]已经完成了参数N/4+1≤n≤N-1的全部GMC2n-m设计的构造。剩下的参数部分q<n≤N/4的GMC设计在以前的文章还没有得到,如果构造出这部分参数的全部GMC设计将在理论和应用上都具有重要的意义。在本文第三章中我们得到了上述部分参数的GMC设计构造结果。首先证明了GMC设计的定义对照子群一定包含所有的字母。然后通过修改Zhang&Cheng[64]中关于Doubling和RCYatesorder的定义,简化并统一了Zhang&Cheng[64]和Cheng&Zhang[21]中关于N/4+1≤n≤5N/16部分的GMC2-m设计的构造。对于n<N/4+1的情况,我们提出了一种构造GMC2n-m设计的一般算法。基于这一算法,我们得到了所有当m≤4但n任意和当n=(2m-1)u+r,r=0,1,2,2m-3和2m-2,且“为任意非负整数时的所有GMC2n-m设计。并且证明了,上述得到的GMC设计中除了有限的几个之外所有设计都属于n<N/4+1的范围。并且得到一个有趣结果,在得到的上述这部分参数的GMC设计中,除了GMC29-4设计外,其它的GMC设计同时还是MA设计。在该论文的第四章,我们研究了AENP的计算问题。我们知道,一个正规设计的AENP准确细致地刻画着设计中各阶因子效应之间的混杂关系。因此计算AENP也是研究设计的基本工作之一。当N比较大时,直接计算AENP需要大量的计算时间,因此,寻求简化的算法就是解决问题一个途径。在这章,我们借助Zhou,Balakrishnan&Zhang[73]中提出的对两水平饱和正规设计Hq的列的类别结构划分,得到了所有n≥N/4+1时GMC2n-m设计的二阶交互效应B2(d,γ)的分布,进而得到了GMC设计的AENP中低阶交互效应之间的混杂1#C2和2#C2的简单计算公式。我们的计算只需要参数n和m,运算过程不需要设计的矩阵计算,使得在通常计算机上的程序运行时间几乎可以忽略不计。因析设计分区组情形的GMC准则和设计是GMC理论的重要内容之一。Zhang&Mukerjee[68]、Wei,Li&Zhang[51]和Zhang,Li&Wei[65]分别建立了因析设计几种最优分区组的B-,B’-和B2-GMC准则理论。随后,Tan&Zhang[50]构造了参数5N/16+1≤n≤N-1,r=1,2的分区组B-GMC2n-m:2r设计,Zhaoetal.构造了参数5N/16+1≤n≤N-1和r任意的分区组B1-GMC2n-m:2r设计。但仍有部分参数的这些类别的分区组GMC设计的构造需要解决。在第五章我们基于GMC2-m设计二阶交互效应B2(d,γ)的分布规律,我们提出一种新的构造方法,不仅重新得到了Zhaoetal.[70]中的构造结果,并且得到了参数范围为N/4+1≤n≤5N/16的所有B1-GMC2n-m:2r设计的构造。其构造结果简明、方便应用。
【作者】郭兵；
【导师】张润楚；
【作者基本信息】东北师范大学，概率论与数理统计，2014，博士
【关键词】混杂效应个数型；一般最小低阶混杂设计；区组一般最小低阶混杂设计；字长型；部分因析设计；区组设计；最小低阶混杂设计；纯净效应；

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