散乱数据拟合的一种无网格方法及其应用

【摘要】散乱数据拟合是指利用散乱的数据重构未知函数,数字地理模型,虚拟现实,医学图像处理,数字图形仿真,偏微分方程的数值解等都可以归结为散乱数据拟合问题.抛物型偏微分方程是描述热传导,扩散等过程的一类重要的方程.力学,物理学等自然科学和工程中的许多问题都可以归结为抛物型偏微分方程的求解问题.抛物型偏微分方程的反问题是科学研究中的重要问题,在物理和工程技术等领域有着广泛的应用背景.处理散乱数据拟合问题的有效方法之一是无网格方法.无网格方法主要采用基于点的近似构造试函数,不需要在求解区域内划分用来确定逼近函数的网格,为科学和工程计算带来很大的方便,便于自适应计算,同时提高了计算精度.与基于网格的数值方法相比,无网格方法的数值计算过程不依赖于网格,适用于散乱数据；利用数据点构造逼近函数,结构简单；近似函数有很好的连续性.本文研究了散乱数据拟合的一种无网格方法及其在抛物型偏微分方程求解以及曲线曲面拟合中的应用.主要内容包括以下几个方面：研究了基于径向基函数的无网格方法在两类抛物型偏微分方程反问题中的应用：未知源项与t有关的反问题和未知源项与x,t有关的反问题.给出了两类反问题的数值求解方法和数值实例,得出了逼近误差随着步长△t的减小以及节点数目的增加而减小,并讨论了观测数据带有噪声扰动的情形.在未知源项与x,t有关的反问题中,将径向基函数方法与有限差分方法进行了比较,结果显示,径向基函数方法优于有限差分方法.研究了基于移动最小二乘的无网格方法在两类抛物型偏微分方程反问题中的应用：未知源项与t有关的反问题和未知源项与x,t有关的反问题.给出了相应的数值求解方法和数值实例,得出了逼近误差随着步长△t的减小以及节点数目的增加而减小,并讨论了观测数据带有噪声扰动的情形.在未知源项与t有关的反问题中,将移动最小二乘方法与有限差分方法进行了比较,结果显示,移动最小二乘方法比有限差分方法稳定.研究了基于移动最小二乘逼近和局部径向基函数插值的线性组合构造的形函数,采用配点法作为离散方案,提出了一种新的无网格方法,给出了其在sobolev空间Wk,p(Ω)中的误差估计,证明了逼近误差随着节点的整体稠密度的减小而减小.并利用这种无网格方法求解抛物型偏微分方程及其反问题,给出了抛物型偏微分方程的数值求解方法,通过数值实例验证了理论的正确性和方法的可行性,得出本文的方法优于移动最小二乘方法和局部径向基函数方法等四种方法.在反问题的研究中,给出了两类反问题的数值求解方法和相应的数值实例,得出逼近误差随着步长△t的减小以及节点数目的增加也就是整体稠密度h的减小而减小.讨论了噪声扰动对数值结果的影响.在未知源项与x,t有关的反问题中,将本文的方法与其他四种方法进行了比较,得出本文的方法较优.研究了基于移动最小二乘逼近和局部径向基函数插值的曲线曲面拟合问题,分别在规则的节点分布和散乱的节点分布两种情形下给出了曲线曲面拟合的数值实例,并讨论了节点数据带有噪声扰动时的拟合结果.结果显示,噪声扰动对拟合结果没有明显的影响,且本文的方法在散乱节点分布和规则节点分布时的拟合精度是一致的,说明本文的方法是可行的,有效的.
【作者】王柏育；
【导师】廖安平；
【作者基本信息】湖南大学，计算数学，2014，博士
【关键词】移动最小二乘；径向基函数；局部径向基函数；无网格方法；抛物型偏微分方程；反问题；曲线曲面拟合；

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