基本命题逻辑的模态扩张

【摘要】基本命题逻辑是不同于经典命题逻辑的命题逻辑,属于非经典逻辑,与它最类似的非经典逻辑是直觉主义命题逻辑。相比于经典命题逻辑,基本命题逻辑引入了一个恒假概念(记为⊥),并在否定和蕴含的定义上均与经典命题逻辑不同。基本命题逻辑中蕴含的意义在于一个特定的传递关系的后继上,蕴含式的真值也由该关系的后继上前件和后件的真值确定。否定式也不再是经典命题逻辑中那样的真值变换,一个命题的否定被定义为该命题蕴含恒假。在基本命题逻辑中加入公式p∧(p→q)→q作为公理,可以将该逻辑扩张为直觉主义逻辑；再在此直觉主义逻辑的基础上加入公式p∨-p作为公理,则可以将其扩张为经典命题逻辑。与经典命题逻辑和直觉主义命题逻辑一样,基本命题逻辑也可以进行模态扩张,以此来研究必然、可能及其相关概念。以上设定与直觉主义命题逻辑基本相同,区别在于蕴含的定义上,在基本命题逻辑中,与蕴含对应的特定关系是一个传递关系,而在直觉主义命题逻辑中,与蕴含对应的特定关系是一个自返且传递的关系。基本命题逻辑和直觉主义命题逻辑之间的区别也是由于这个关系的自返与否带来的。由于基本命题逻辑和经典命题逻辑、直觉主义命题逻辑之间关系密切,因而在对其进行模态扩张的时候,可以借鉴经典模态逻辑和直觉主义模态逻辑,参考二者中对模态部分的定义与描述来获取对基本命题逻辑进行模态扩张的思路,以及获取扩张之后得到的逻辑的具体性质。在对基本命题逻辑进行模态扩张时,经过检验得出必然算子与可能算子之间并不像经典模态逻辑中那样具有对偶关系,因此需要分别扩张出只含有必然算子的模态逻辑与只含有可能算子的模态逻辑,再考虑将这两种模态逻辑进行合并,进而得到同时含有必然算子与可能算子的模态逻辑。在引入必然算子时,与经典模态逻辑一样需要引入新的可及关系,但由于基本命题逻辑本身带有的单调性,使得如果仅仅使用这个新的关系定义出必然算子,那么将出现在扩张后的模态逻辑系统下带有必然算子的蕴含式不能保持单调性这个问题。解决这个问题需要对得到的模态逻辑的模型进行关系上的限制。为了避免进行这样的限制,本文将蕴含式对应的关系与模态扩张时引入的新关系结合在一起,同时使用这两个关系来重新定义了必然算子。以这样的方式引入必然算子之后,在基本命题逻辑系统的基础上加入两条带有必然算子的公理与一条带有必然算子的推理规则,即可以得到该系统的带有必然算子的模态扩张。在引入可能算子时同样由于单调性而遇到了问题,而将蕴含式对应的关系与模态扩张时引入的新关系结合在一起来重新定义可能算子的方式并没有得到好的结果,因此为了解决这个问题,本文在扩张后得到的模态逻辑系统上进行了这两个关系之间的限制。以这样的方式引入可能算子之后,在基本命题逻辑系统的基础上加入两条带有可能算子的公理与一条带有可能算子的推理规则,即可以得到该系统的带有可能算子的模态扩张。而同时按文中的方式引入必然算子与可能算子之后,将以上四条公理与两条推理规则同时加入基本命题逻辑的系统,则可以得到该系统的既带有必然算子又带有可能算子的模态扩张MPL,而这也是本文希望得到的结果。以这样方式对基本命题逻辑进行模态扩张之后,得到的模态逻辑类似于直觉主义模态逻辑,但两者在公理上有很大区别。本文选择了最有影响力的直觉主义模态逻辑系统——费舍尔·舍维的FS系统——来与MPL的系统进行对比,发现两者除了共有的公理及推理规则之外,包括K公理在内的三条FS系统的公理在MPL的系统中均存在反模型,以此来说明这三条公理都不能作为MPL系统的公理或定理。除了这样的不同点,从模型论的理论进行考虑可以发现,在经典命题逻辑系统、基本命题逻辑系统与直觉主义模态逻辑系统中,一些模型和框架上的定理在MPL中同样适用,只需要注意将对应的模态部分转化为适用于MPL的形式。考虑到除了K公理之外的另外两条公理是同时含有必然算子与可能算子的公式,而这两条公理均被证明在MPL中无效,因而本文尝试将引入必然算子与可能算子所使用的与模态相对应的可及关系区分开来的方式,以一种偏向代数的方式重新对基本命题逻辑进行了模态扩张。这样进行的模态扩张得到的模态逻辑同时含有必然算子与可能算子,其模型可以对应到一个特定的海廷代数上,同时一个符合这样形式的海汀代数也可以对应到某个这样的模态逻辑模型上。由于存在这样的双向对应,因而本文尝试将模型论与代数上的一些概念与性质对应到基本命题逻辑的模态扩张上,包括归约、嵌入、同构等概念均可以与该模态逻辑的模型结合起来。
【作者】刘小山；
【导师】何向东；
【作者基本信息】西南大学，逻辑学，2014，硕士
【关键词】基本命题逻辑；模态扩张；模态系统差异；代数；

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