几类约束矩阵方程的迭代解法研究

【摘要】约束矩阵方程问题是指在满足一定约束条件的矩阵集合中寻求矩阵方程解的问题,它在结构设计,参数识别,自动控制,有限元理论,线性规划等领域有着广泛的应用.该问题的研究主要涉及两个方面：一是理论上的可解性,即从理论上寻求问题有解的充分及必要条件；二是问题求解的实际算法,即从算法上实现问题的解.约束矩阵方程的迭代解法是算法实现的重要途径之一(另一类方法称为直接法).本文基于数值线性代数中求解一般线性方程组的共轭梯度法,针对几类不同的约束矩阵方程问题,分别构造了新的迭代算法,分析了算法的收敛性与可行性,并进行了数值试验,拓展了已有的研究成果.本文主要研究成果如下：1.矩阵方程AXB=E,CXD=F的广义自反与广义反自反约束解及其最佳逼近解.不同于已有的方法,本文首先利用约束条件矩阵的特征值分解,实现了约束方程的无约束化,将原约束问题等价地转化为了无约束问题,然后构造了新的迭代算法求解了该类无约束问题,继而重构出原约束矩阵方程的解；分析了算法的收敛性与可行性,数值例子验证了方法的有效性.2.通过调整共轭方向中的残量矩阵,对前述求解无约束问题的迭代算法加以变形,构造了求解矩阵方程A11X1B1+A2X2B2=E,C1X1D1+C2X2D2=F的一般解、对称与反对称约束解、中心对称与中心反对称约束解、广义自反与广义反自反约束解的新的迭代算法,分析了算法的收敛性与可行性,数值例子验证了方法的有效性.3.基于前述工作,构造了求解矩阵方程的一般解、广义自反与广义反自反约束解的迭代算法,分析了算法的收敛性与可行性,为求解约束矩阵方程问题提供了新的有效算法.4.上述算法在约束矩阵方程相容时,收敛到方程的一个极小范数解,在方程不相容时,收敛到方程的一个最佳逼近解.研究过程可见，算法的可移植性较强.同时,算法中的残量矩阵被构造为结构稀疏的块对角阵,对于算法收敛速度的提高较为有利.此论文得到了国家自然科学基金(11171205)的资助.
【作者】林永；
【导师】王卿文；
【作者基本信息】上海大学，基础数学，2014，博士
【关键词】约束矩阵方程；矩阵范数；特征值分解；迭代法；约束解；最佳逼近解；

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