分数阶微分方程的高阶数值方法

【摘要】分数阶微积分和经典的微积分有着几乎同样长的历史.近年来,人们发现分数阶微积分在科学和工程的很多领域都有着广泛的应用.本文主要研究分数阶微积分算子的谱逼近以及时间分数阶亚扩散方程的高阶稳定数值算法.首先,本文基于Jacobi正交多项式的三项递推公式得到Jacobi多项式的分数阶积分的递推公式.理论表明,Jacobi多项式的分数阶积分的递推公式经过变换也是一种Jacobi多项式,因而递推公式是稳定的.我们再根据Jacobi多项式的分数阶积分的递推公式导出Jacobi多项式的Caputo分数阶导数的计算公式,并得到相应的微分矩阵且用来求解分数阶方程的初边值问题.我们给出了充分的数值算例验证了算法的有效性,并与其他方法进行了比较,显示了本文方法的精确性.其次,本文研究了一维β阶Caputo型时间分数阶亚扩散方程的数值方法,β∈(0,1).我们首先基于两种分数阶线性多步法提出了两个时间离散方法,空间使用有限元逼近,得到两个全离散格式.我们严格证明了两个全离散格式的绝对稳定性,时间方向全局收敛阶为(1-β),平均收敛阶为(1.5-β),空间方向得到最优L2模误差估计.当β→1时,两个格式都退化成经典的Crank-Nicolson(CN)格式.接着我们提出了四个改进的时间离散格式,使得时间方向的全局收敛阶分别达到1阶和2阶,平均收敛阶分别达到1.5阶和2阶.同样可以证明,四个改进的格式也是绝对稳定的.本文给出了充分的数值算例,检验了本文方法的精确性,并和其他方法进行了比较,显示了本文方法的高精确性.通过观察发现,数值结果优于理论估计.再次,本文研究了一维(1-β)阶Riemann-Liouville型分数阶亚扩散方程的数值方法,β∈(0,1).本文提出一种新的基于非均匀网格的一般的Ll方法离散时间分数阶导数,得到和经典L1方法同样的收敛阶.选择合适的时间网格点离散Riemann-Liouville型分数阶亚扩散方程的时间方向,空间方向使用有限元逼近,我们得到一种新的CN格式,该格式可以看成是相应经典方程CN格式的直接推广.我们严格证明了该格式是绝对稳定的,时间方向全局收敛阶为(1+β),空间方向得到最优L2模误差估计.当β→1时,该格式退化成经典的CN格式.我们还将新的时间离散方法应用于分数阶电报方程,得到绝对稳定的算法.本文给出充分的数值算例检验算法的有效性,并和其他方法进行了比较.最后,本文研究了二维β阶Caputo型时间分数阶亚扩散方程的交替方向算法,β∈(0,1).首先使用第二章中提出的六种分数阶线性多步法离散二维亚扩散方程的时间方向,然后再加入(1+β)阶扰动项得到交替方向格式.我们严格证明了所建立的交替方向格式的绝对稳定性,时间方向最高收敛阶为(1+β),空间方向得到最优L2模误差估计.我们给出了充分的数值算例检验算法的有效性,并与现有的方法进行了比较,显示出本文算法的精确性.
【作者】曾凡海；
【导师】李常品；
【作者基本信息】上海大学，计算数学，2014，博士
【关键词】分数阶积分；Caputo导数；Riemann-Liouville导数；Jacobi多项式；分数阶微分矩阵；亚扩散方程；交替方向隐式方法；分数阶线性多步法；有限元方法；

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