关于波方程长时间行为的研究

【摘要】在这篇博士学位论文中,我们主要研究如下两类耗散型波方程的初边值问题和解的长时间行为,得到了第一类方程依赖时间的全局吸引子的存在性和第二类方程全局吸引子几何拓扑性质新的描述,其中在问题(Ⅰ)中,当t→∞时,ε(t)→0.(1)关于吸引子的存在性.关于问题(Ⅰ),我们自然地引入如下形式的能量泛函：因为当t→∞时,ε(t)→0,所以按通常的方法在通常的空间框架H01(Ω)×L2(Ω)下,很难得到方程的解关于时间t的一致有界性与渐近紧性.因此,我们引进了范数依赖时间的空间H01(Ω)×Lt2(Ω),并在这个框架空间中,建立了对应于问题(Ⅰ)的解的过程族{U(t,τ}t≥τ.为了得到这个过程族的依赖时间的全局吸引子的存在性,我们引入了过程渐近紧的概念,并且给出了一种依赖时间的全局吸引子存在的判定准则.为了克服非线性项的临界Sobolev指数带来的困难,我们在范数依赖于时间的空间上提出压缩函数的概念,并给出一个验证过程渐近紧的方法——压缩函数方法,用以验证带有非线性阻尼的非自治波方程过程的渐近紧性.最后,我们用新建立的方法考虑了问题(Ⅰ)的解的长时问行为,证明了问题(Ⅰ)依赖于时间的全局吸引子的存在性.(2)关于吸引子的性质.对于问题(Ⅱ),根据对称动力系统全局吸引子多重平衡点存在性的最新研究成果([1391),我们可以运用临界点理论中的下降流思想和Z2指标理论,通过计算系统全局吸引子的Z2指标,从而获得吸引子中包含多重平衡点,进而从一个侧面揭示了全局吸引子所蕴含的性质.由于问题(Ⅱ)中当λ=0时,零点是其Lyapunov泛函的极小点,而当入适当大时,零点不再是其Lyapunov泛函的极小点,所以我们分两种情况来讨论.一是原点作为半群的平衡点是稳定的情形,即原点是方程对应的Lyapunov泛函的局部极小点时.首先我们给出了判定零点的小邻域是吸引域的一些判别准则,继而用[139]中思想给出了第二类方程中全局吸引子多重平衡点的存在性并对吸引子的维数做了估计；二是原点作为半群的平衡点是不稳定的情形,这时原点不再是方程对应的Lyapunov泛函的局部极小点,通过推广相交引理,继而给出抽象的理论刻画,并运用到第二类方程得到多重平衡点的存在性并对吸引子的维数做了估计.
【作者】孟凤娟；
【导师】钟承奎；
【作者基本信息】南京大学，基础数学，2014，博士
【关键词】波方程；全局吸引子；依赖于时间的全局吸引子；Lyapunov泛函；平衡点；

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