分形上函数的积分

【摘要】近年来有关分数阶微积分的研究引起了人们的广泛关注。目前用得最多的分数阶微积分是基于Gamma函数定义的Riemann-Liouville导数和Riemann-Liouville积分,其次有Caputo导数、Weyl-Marchaud导数等。由于这些分数阶积分的定义本身与分形没有直接的联系,对分形的研究作用意义不大。所以,为了得到分形上特有的积分性质和计算方法,本论文从分形自身所具有的分数维Hausdorff维数和相应的Hausdorff测度出发,来定义专门用于研究直线上分形函数的分数阶积分,我们称之为Hs-积分。第一章介绍分形上函数的分数阶Hs-积分产生的背景和本论文所用到的基本知识：Hausdorff准数和Fubini定理。第二章我们提出了Hs-积分的概念。第一节根据Riemann积分和测度论中可测函数积分的定义方式分别得到Hs-Riemann积分的定义和Hs-Lebesgue积分的定义。第二节讨论了紧的s-集E上的函数f(x)的Hs-Riemann:积分和Hs-Lebesgue积分可积的条件。第三章我们讨论了Hs-积分的性质。第一节从几何上讨论了Hs-Lebesgue积分的意义.第二节对紧的s-集E上函数的Hs-积分的将要用到的一些积分性质作简要的概述,并对其中一些涉及分形专有的性质加以证明。第四章作为主要内容,我们研究了Hs-积分的计算。第一节给出了包含E的闭区间上的初等函数在E上Hs-Riemann积分的理论计算公式：其中s=Inr/lnN为E的Hausdorff维数,Sm(n)=∑x∈TmXn,这里是由表示系统(N,T)所能够表示的所有m位整数集。同时,给出包含E的实数集R上的初等函数在E上Hs-Riemann积分的具体计算方法：其中对任意i,j=1,…,n,当i>j时aij=bij=0,当i≤j时,令有第二节研究了Hs-积分的实例,针对直线上常见的cantor三分集E上的初等函数f(x),给出f(x)在E上的Hs-Riemann积分(R)∫(x)dHs的计算方法。第五章讨论紧的s-集E上函数f(x)的广义Hs-Riemann积分以及它在求分形集的局部Hausdorff维数方面的应用,即E的Hausdorff维数s是广义Hs-Riemann积分从收敛到发散的α分界点。
【作者】朱莉红；
【导师】龙伦海；
【作者基本信息】海南大学，应用数学，2014，硕士
【关键词】s-集；Hausdorff维数；Hausdorff测度；H~s-积分；初等函数；

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