基本逻辑代数的若干专题研究

【摘要】非经典逻辑包含多值逻辑、模糊逻辑等,它常用于处理具有模糊性、随机性等方面的不确定问题.在模糊逻辑中,要为模糊推理建立逻辑基础必须建立严密的模糊逻辑演算体系,这些工作的完成需要代数逻辑方法的支持.代数逻辑的研究着重两点：一是研究与逻辑体系相关的代数系统,二是建立逻辑体系及其匹配代数系统之间的关联.通过代数方面的研究解决逻辑方面的问题,或者用逻辑方法解决代数问题.本文主要从代数的角度出发研究基本逻辑,主要考虑BL-代数、SBL-代数和SBL(?)-代数的子结构及其不确定性理论.本文的工作主要有以下几个方面：(1)研究了BL-代数、SBL(SBL)-代数的滤子理论.引入了与特殊BL-代数相对应的ⅡⅡ-特殊滤子,讨论了它的延拓性以及它与商特殊BL-代数的关系.通过SBL-代数性质的讨论,证明了若由BL-代数L的完全滤子F诱导的商L/F是SBL-代数时,则F是L的整滤子,从而一定程度上解决了Borzooei和Paad留下的公开问题.在给出与SBL-代数配套的严格滤子后,我们阐述了严格滤子与其它类型的滤子的关系.此外,研究了SBL,-代数的(?)-滤子的性质,给出了(?)-滤子的一些刻画.同时,我们引入了共轭零化子和(?)-滤子的根的概念,并使用共轭零化子和生成滤子给出了,-滤子的一个表示形式.(2)研究了BL-代数的关联理想和SBL,-代数的理想.在BL-代数上引入了伪蕴含运算,证明了BL-代数L的非空子集I是理想当且仅当对任意的x,y∈I,L(x,y)(?)I借助伪蕴含运算引入了关联理想的概念,给出了关联理想的一些等价刻画.通过分析关联理想的等价刻画,证明了关联理想和Boolean理想是一致的.运用关联理想建立了BL-代数和Godel代数之间的关联.在SBL(?)-代数上引入了(?)-理想的概念,指出了(?)-理想一定是理想.(3)在BL-代数上研究了理想的模糊结构和软结构理论.研究了BL-代数理想的广义形式—(∈,∈Vq)-模糊理想和落影模糊理想,给出了它们的一些等价刻画.运用滤子化的BL-代数,构造了模糊子半环.借助落影理论,讨论了BL-代数的模糊关联理想,不但建立了落影模糊理想和模糊理想的关系,而且给出了落影模糊理想的一些等价刻画.为了研究软BL-代数的模糊理论,我们首先在环中引入(λ,μ)-软并环,运用不变软集讨论了(λ,μ)-软并环的同构定理.以此为基础,我们引入了软BL-代数的模糊理想,并运用软同态给出了软BL-代数的模糊同构定理.
【作者】杨永伟；
【导师】辛小龙；
【作者基本信息】西北大学，基础数学，2014，博士
【关键词】BL(SBL)-代数；严格滤子；关联理想；模糊集；落影模糊理想；软集；软并环；同构定理；

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