矩阵的稀疏性与零—非零模式

【摘要】本文主要研究关于矩阵的稀疏性、零-非零模式、符号模式、矩阵的乘方的几个问题.工作分为以下几个部分：1.设F为一个域,α1,α2,…,αn为不同的未定元,A为n阶矩阵,其元素是F上α1,α2,…,αn的有理函数.假设A的特征多项式为p(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an运用代数中域扩张的超越次数和图论中生成分枝的性质,我们证明了A至少含有2n-1个非零元.记p(x)对应的伙伴矩阵为C(p).由于C(p)的元素是F上α1,α2,…,αn的有理函数,且C(p)恰好含有2n-1个非零元,从而伙伴矩阵是这类矩阵中最稀疏的.2.设F为至少含有三个元素的域.我们刻画了那样的不可约零非零模式方阵A：F上任一具有模式A的可逆矩阵B的逆B-1仍具有模式A.我们还刻画了那样的零-非零模式方阵P：F上任一具有模式P的可逆矩阵Q的逆的转置(Q-1)T仍具有模式P.3.设F为至少含有三个元素的域.我们刻画了那样的零-非零模式方阵A：F上任一具有模式A的矩阵B的平方B2仍具有模式A.在此基础上确定了给定极小秩的这类模式中非零元的可能个数并刻画了达到最大个数的模式.我们发现该问题可以转化为研究幂等0-1矩阵.4.刻画了幂等Toeplitz型符号模式和幂等Hankel型符号模式,推广了相关的已有结果.5.分别刻画了乘方最终是对角矩阵、Toeplitz矩阵、正规矩阵的那类矩阵.
【作者】马超；
【导师】詹兴致；
【作者基本信息】华东师范大学，运筹学与控制论，2014，博士
【关键词】多项式；伙伴矩阵；稀疏性；超越次数；生成分枝；零-非零模式；符号模式；不可约性；幂等性；0-1矩阵；极小秩；乘方；

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