量子拟shuffle代数与q-拟对称函数

【摘要】文章的主要研究对象是量子拟shuffle代数.本博士论文分为三个部分：第一部分给出多参数量子群的量子拟对称代数实现,这是一种公理化的构造方式.第二部分考虑一类特殊的量子拟shuffle代数,q-拟对称函数代数.特别地,我们研究了奇拟对称函数代数的组合性质.第三部分详尽刻画了一个tame表示型阶化Hopf代数(?)-1(2)的不可分解模结构以及其张量积分解结构,从而确定其表示环(Green环),以及相应的Jacobson根(radical)另外,我们考察了(?)-1(2)的两个Hopf2-上圈扭形变代数的Green环,以此观察Hopf2-上圈扭形变(Hopf代数理论研究中的热点之一)对Hopf代数结构带来的本质不同.这三部分的逻辑关联如下：第一二部分都是关于量子拟对称性的研究,后者在辫子更特殊的情形下展开讨论并给出组合上的应用(相信将来会在表示论中得到进一步的应用).第二三部分可以看作是对两种代数结构在“q=-1现象””(或称“超情形”)时的研究.在第一章中,我们要考虑量子群实现这一核心问题,其中开创性的工作有Ringel[74]的Hall代数实现,Rosso[75]的量子shuffle代数的公理化实现,以及Bridgeland[9]借组Hall代数的整体实现等.为此,我们首先一般性地介绍量子拟shuffle代数的概念,尤其是要深入了解量子拟shuffle乘积.然后参考Fang-Rosso关于单参数整体量子群实现的工作[25],利用量子拟shuffle代数的玻色化,量子拟对称代数,公理化实现多参数量子群(非单位根情形).这种实现方式还有一个优点,就是能进一步实现量子群的可积不可约表示.其中,对于相应的Hopf代数同态的单性,Fang-Rosso原来的证明是存在明显漏洞的.这里我们借助Chin-Musson关于量子群余根基滤过的工作给出新的证明.在第二章中,我们将考虑q-拟对称函数代数.作为辫子Hopf代数,它的辫子特殊地取为着色辫子.在正文中我们称这类辫子Hopf代数为q-Hopf代数.借助于辫子Hopf代数方面的知识,我们研究了q-拟对称函数代数的若干组合性质.譬如q-拟对称函数成为q-对称函数的判别准则,这在寻找奇Schur函数时至关重要.我们希望从q-拟对称函数的角度出发来研究q-对称函数,为此,我们将在第三章中定义两类著名的组合Hopf代数的q形变,它们分别是Malvenuto-Reutenauer代数和Poirier-Reutenauer代数.作为副产品,我们将一个关于Hopf代数交叉积分解的定理推广到了辫子的情形.另外,我们还得到一系列q-Hopf代数的关系图.在第四章中,特别考虑q为-1,即Hopf超代数的情形.通过PR-代数的q形变可以自然得到由Khovanov,Ellis和Lauda定义的奇Schur函数,以及相应的奇Littlewood-Richardson律(这有别于Ellis借助奇Schur函数三种等价定义所得的证明,是更简洁的新证明).这样的做法启发我们进一步考虑奇拟对称函数与奇Schur函数之间的关系.在第五章中,本人将给出这部分的主要工作：拟对称Schur函数这组新的基在奇拟对称函数上的类比,它可以作为奇Schur函数在奇拟对称函数上的加细.相应地,我们给出奇拟对称Schur函数的Pieri律,以及它的对偶基,Young非交换Schur函数,的Littlewood-Richardson律.另外作为应用,我们将在第六章中借助Bergeron,Lam等关于组合Hopf代数到对偶阶化图的构造实现各类有趣的q-对偶阶化图.而在最后一章中,我们试图考虑由胡乃红定义的n秩Taft代数的Green环,最终得到秩二情形且q=-1时的完整结果.“q=-1”的情形为“小量子群”的研究提供了相对简单的代数结构,但表示论己相当复杂.一般小量子群表示论的巨大复杂度由此可见一斑.另外,为了突显Hopf2-上圈扭形变的研究价值,我们也考虑了2秩Taft代数的两个Hopf2-上圈扭代数,H4(?)H4和D(H4),的Green环,并由此得知Hopf2-上圈扭形变对于Hopf代数的Green环的影响十分显著.值得一提的是,后来通过查阅Caenepeel等人关于16维点Hopf代数分类的工作[10],得知余根基为4维Klein群代数的16维点Hopf代数有五个互异同构类,而我们所找的例子恰是其中三个存在Hopf2-上圈扭等价的互异同构类,剩余两个并没有上圈扭等价关系.
【作者】黎允楠；
【导师】胡乃红；
【作者基本信息】华东师范大学，基础数学，2013，博士
【关键词】shuffle；拟对称函数；代数结构；量子群；上圈；不可分解模；张量积；余代数；表示论；Richardson；

【参考文献】
[1]田振刚.外汇储备对我国货币供应量的影响研究[D].新疆财经大学,金融学,2013,硕士.
[2]李建慧,朱自强,刘树才,刘鑫明,曾思红,罗文歆.基于Gaver-Stehfest算法的矩形发射回线激发的瞬变电磁场[J].石油地球物理勘探,2011,03:489-492+500+332.
[3]马磊.北京麦新果季科技有限公司项目采购成本控制研究[D].北京工业大学,项目管理（专业学位）,2014,硕士.
[4]钱凯.八字腔锁模Yb光纤激光器及其超连续谱光源的产生[D].浙江大学,光学工程,2013,硕士.
[5]杜春华.中国平安保险（集团）股份有限公司治理研究[D].中南民族大学,法律,2013,硕士.
[6]张沛琪.江苏省粮食消费影响因素分析与中长期粮食生产—消费平衡预测[D].南京农业大学,作物栽培学与耕作学,2013,硕士.
[7]王海波.高层连体结构连接方式对结构抗震性能的影响[D].青岛理工大学,防灾减灾工程工程及防护工程,2012,硕士.
[8]崔薇.基于语料库的莎士比亚戏剧汉译本中“使”字句的应用研究[D].上海交通大学,英语语言文学,2014,硕士.
[9]田霞.丙戊酸钠对Kasumi-1细胞裸鼠移植瘤细胞周期的影响[D].承德医学院,肿瘤学,2011,硕士.
[10]赵淼波.我国事业单位内部控制研究[D].天津财经大学,会计学,2012,硕士.
[11]李田.TRIPS协议第四十条下的滥用专利权规制研究[D].上海交通大学,法律,2013,硕士.
[12]张黎.传统山岳旅游地的转型模式研究[D].湖北大学,人文地理学,2011,硕士.
[13]董叶梓.物联网和无线传感网射频前端低噪声放大器的研究与设计[D].国家海洋技术中心,港口、海岸和近海工程,2013,硕士.
[14]阎莉薇.我国协议离婚制度研究[D].河北经贸大学,民商法学,2013,硕士.
[15]张广韬.施工总承包企业合同风险管理研究[D].大连理工大学,项目管理（专业学位）,2013,硕士.
[16]张学林.装载机冷却风扇驱动特性研究[D].吉林大学,机械设计及理论,2013,硕士.
[17]范文哲.铍针治疗末梢神经张力性疼痛的机理研究[D].北京中医药大学,中西医结合临床,2014,硕士.
[18]郝发珍.多特征关联图像内容检索算法及应用研究[D].湖南大学,软件工程,2012,硕士.
[19]庄海.siRNA干扰HB_X基因对HepG2.2.15细胞迁移的影响[D].遵义医学院,生物化学与分子生物学,2013,硕士.
[20]李江华.变压器油中微量水分真空蒸发实验研究[D].重庆工商大学,环境工程,2014,硕士.
[21]唐亚哲,张鹏,李增智,刘康平,李静.DIINMS分布智能网络管理系统的设计与实现[J].小型微型计算机系统,2002,08:926-929.
[22]李富豪.罕遇地震下连梁与墙肢关系对剪力墙抗震性能影响的研究[D].吉林大学,结构工程,2013,硕士.
[23]金仁东,郑建军,周欣竹,杨德蓝.水泥石水渗透系数的试验研究[J].甘肃水利水电技术,2015,03:5-7.
[24]曾元忠.襄樊市“快乐校园”的理性解析与探微[D].华中师范大学,教育管理,2003,硕士.
[25]王瑞霞.氟乙酰胺中毒大鼠大脑损伤的基础研究及药物治疗[D].吉林大学,急诊医学,2014,硕士.
[26]于振祥.景观都市主义视角下天津西青区城市风格研究[D].天津大学,建筑与土木工程,2013,硕士.
[27]吴端振.CG3714基因突变对运动果蝇心脏节律增龄改变的影响[D].湖南师范大学,运动人体科学,2014,硕士.
[28].2003年中国工程院院士增选第二轮评审候选人名单(共170人,分学部按姓氏笔画为序)[J].科学新闻,2003,19:25-26.
[29]许岑涔.我国劳资纠纷解决模式的制度完善[D].广东财经大学,法律（专业学位）,2014,硕士.
[30]龚菲.家谱档案管理研究[D].安徽大学,档案学,2014,硕士.
[31]李佩哲.中美职业女性家庭—工作角色冲突及其文化影响因素对比研究[D].上海外国语大学,英语语言文学,2012,硕士.
[32]岳文泽.基于遥感影像的城市景观格局及其热环境效应研究[D].华东师范大学,2005.
[33]傅强.哈萨克民族风情水墨系列国画创作研究[D].新疆师范大学,中国画（专业学位）,2013,硕士.
[34]王晓春.基于web的教学通用平台的研究与设计[D].电子科技大学,软件工程（专业学位）,2011,硕士.
[35]杜琳倩.水淹胁迫下新型氧肥对土壤酶活性的影响[D].中南林业科技大学,生物化学与分子生物学,2013,硕士.
[36]王之晖.网络时代司法公信力研究[D].湖南师范大学,法学理论,2013,硕士.
[37]朱新疆.企业财务管理系统的分析与设计[D].云南大学,软件工程,2012,硕士.
[38]杨明伟.贵阳市农村信用社服务农村经济发展研究[D].华中师范大学,农村与区域发展,2014,硕士.
[39]刘丽萍.WTO框架下的中美农业比较研究[D].外交学院,国际关系,2004,硕士.
[40]郑莉.磁改性GO/EP结构有序复合材料的界面相容性和气密性研究[D].哈尔滨工业大学,2014.
[41]李庆良,雷虎民,杨志峰,邵雷.一种基于即时学习的非线性系统滑模预测控制方法[J].控制与决策,2011,04:524-529.
[42]汪春能.某型发动机主要零部件寿命计算分析[D].湖南大学,机械工程,2010,硕士.
[43]肖艳芳.英国教师教育实习中的大学与中小学校伙伴关系研究[D].东北师范大学,比较教育学,2012,硕士.
[44]王宗涛.微生物发酵动力系统的参数辨识与优化[D].大连理工大学,运筹学与控制论,2004,硕士.
[45]任学波.反垄断法中相关市场界定研究[D].河北经贸大学,经济法,2013,硕士.
[46]彭爽.我国商业银行客户关系管理应用研究[D].东北财经大学,2005.
[47]杨瑞.关节镜下带线锚钉修复肩关节上盂唇前后向损伤的疗效分析[D].遵义医学院,外科学（专业学位）,2013,硕士.
[48]侯遂峰.论专利创造性标准[D].华东政法大学,民商法,2012,硕士.
[49]李翱洋.微博问政的困境及制度化路径研究[D].湖南师范大学,中外政治制度,2014,硕士.
[50]李海侠.两类生物模型的共存态及数值模拟[D].陕西师范大学,基础数学,2014,博士.