次线性数学期望下的极限理论及其应用

【摘要】自从Choquet[13]提出容度概念后,人们对容度理论越来越感兴趣.因为在经济,统计学,工程学等领域有很多带有不确定性的问题,它们无法用传统的可加概率测度来准确预测或描述.现实中,概率可加性假设局限性明显,越来越多的人们开始舍弃可加概率这一传统工具,转而使用非可加(上,下)概率测度这一新兴工具来刻画带有不确定性的问题.事实上,早在1954年,Keynes[24]就发现了此类转变需求,从而创建了不确定概率理论.容度,这一非可加概率测度,就成为了刻画不确定性问题时一种十分合适的数学工具(参见Aug-ustin[1],Maccherroni和Marinacci[27],Doob[17],Schmeidler[33])鉴于金融数学和应用统计的广泛需求,非可加(上,下)概率/期望下随机变量的基本性质成为人们争相研究的学术热点.众所周知,大数定律(LLN)在概率论与数理统计的发展和应用中发挥了至关重要的奠基作用,与此同时,我们发现有关非可加容度/期望下(强)大数定律的研究成果十分丰富,主要分为两个学术流派：一个是非可加概率流派,其特征是用非可加(不确定的)概率来刻画非可加概率下随机变量的频率属性.另一个是非线性期望流派,其特征是用非可加(上,下)期望来刻画非可加期望下随机变量的频率属性.尽管这两个流派在经典线性概率理论下是等价的,他们在非线性框架下是完全不同的,因为一个非线性期望通常是不能被相应的非线性概率唯一确定的(参见Chen.Z,Chen.T和Davison[7]以及Choquet,Hu,Memin和Peng[12])非可加概率流派成果众多,比如早期经典文献Dow和Verlang[18]以及Walley和Fine[36],近期著名成果例如Cooman和Miranda[15],Epstein和Schneider[19],Marinacci[28],Mac-cheroni和Marinacci[27],Chen和Wu[10],Chen,Wu和Li[11]以及Terdn[34].在对非可加概率的不同假设下,文献证明了当实验次数增加时,通过大量实验得到的实验均值不再逼近于某个确定的期望值,而是在下概率(容度)下落在某个期望值区间内.在非可加期望流派,Peng是第一个提出g-期望和G-期望的学者.在9-期望的启迪下,Peng[29,30,31]提出了次线性期望下随机变量的独立和同分布定义,我们称之为Peng独立.在某些对非可加期望的假设下,Peng通过偏微分方程(PDE)理论给出了次线性期望下的大数定律和中心极限定理.将非可加概率和非可加期望两个学派的成果与经典大数定律相比较,我们发现,在对概率和期望的公理化性质进行削弱的同时,我们必须对状态空间,非可加概率,随机变量做出额外的技术性假设作为补偿.自然地,我们想到如下问题：可否借鉴经典可加概率(Feller,Linderberg等人)的证明方法,从概率的角度将大数定律推广到次线性期望下呢?答案是肯定的.本文中,我们首先借鉴了经典的Linderberg-Feller的证明思想在事件独立下给出了Choquet期望下的大数定理,然后推广到更一般情形：卷积独立下的次线性期望下大数定律,进而获得容度下的弱大数定律,并给出了一个与二者相关的等价定理.本文证明过程仅使用了泰勒展开式,次线性期望性质等纯概率基础工具,未采用特征函数或PDEs等复杂辅助手段.进一步,与文献相比,我们削弱了大数定理的假设条件.比如,在次线性期望下,降低了随机变量的阶矩条件,随机变量独立性假设也弱化为卷积独立.此外,我们的次线性大数定律能够涵盖著名的Ellsberg模型(带有模糊性的罐子模型),而Ellsberg模型因为具有概率模糊性并不符合文献中大数定律的假设条件.本文共分为四章.第一章研究在事件独立定义下,Choquet期望下的大数定律.第二章研究在卷积独立定义下,一般次线性期望下的大数定律.第三章给出次线性大数定律在模糊条件下的应用.第四章给出了次线性大数定律的收敛误差估计.引入符号：假设Ω为状态空间,F为σ-域.称函数X:Ω→R为可测空间(Ω,F)上随机变量,若X是F-可测的.令H为可测空间(Ω,F)上随机变量全体的子集.假设Gb(R)为R上所有有界连续函数的集合C+b(R)为Cb(R)上的非负单调函数的全体C2b(R)为Cb(R)上那些函数一阶,二阶导数都存在且导数仍在Gb(R)中的函数全体.对给定有限常数μ和μ,记集合Dn:={y|y=(y1,y2,…,yn),yi∈[μ,μ],1≤i≤n}.(Ⅰ)第一章主要研究上Choquet期望下的大数定律.容度和Choquet期望在定义形式,基本性质等方面与概率和线性期望具有高度相似性.可以说,Choquet理论是联系经典线性理论与新兴次线性理论的桥梁.1999年到2005年,Maccherroni和Marinacci[27][28]提出了容度下的随机变量独立性定义,独立形式与概率下的独立定义相似.正是考虑到Choquet期望与线性期望的这种相似性,在将大数定律向非可加期望领域推广时,我们优先选择Choquet期望作为尝试的起点.所以本文先讨论Choquet这种相对简单的情况(此时类似线性期望有较多借鉴之处),在事件独立的假设下,给出了Choquet期望下大数定律.然后再考虑一般的次线性期望下大数定律.从简入难.回顾Choquet期望下大数定律的理论进展,我们发现在事件独立的假设下,不同文献给出了不同技术假设,但从证明方式来看,主要分为以下两种：一种是转化法：“曲线救国”,比如Chareka[3]将不可加的Choquet积分转化成可加的Lebesgue-Stieltjes积分.然后利用Lebesgue-Stieltjes积分性质证明了Choquet框架下的强(弱)大数定律.另一种是直接证明法：比如Li和Chen[26]直接证得容度下的Chebyshev不等式和Borel-Cantelli引理,从而证明了Choquet期望下大数定律,证明方法类似线性LLN.由此启发我们：在事件独立下,可否将大数定律的其他(Linderberg,Feller等)经典证法推广到Choquet期望下证得大数定律呢?我们的答案是肯定.我们知道,证明大数定律的关键条件是概率/期望的可加性和随机变量的阶矩条件.而本章讨论的Choquet期望恰为非可加期望.为了解决这个期望非可加问题,我们采用2-alternating容度,因为由2-alternating容度生成的Choquet期望具有我们所需的次可加性.在这个前提假设下,本章讨论了独立同分布随机变量序歹(?){Xi}∞i=1的依分布收敛(分布极限)问题.此外,对比其他Choquet结论,我们的Choquet大数定律对随机变量的阶矩条件也进行了弱化.在引入大数定律前,我们先叙述三个核心引理作为铺垫.和变通项引理：引理1.3.1令V为F上的2-alternating容度,且Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.令{Xi}i=1∞为(Ω,F)上的一列独立随机变量.则对任意单调函数φ∈Gb(R)和任意常数yi∈R,其中n泰勒展开引理：引理1.3.2令V为2-alternating容度,Cv,Cv分别为其生成的上,下Choquet期望令{Xi)i=1∞为同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ和Cv[Xi]=μ假设对任意i≥1,有Cv[|Xi|]<∞.则对任意函数φ∈Cb2(R),存在一个正值常数b。(∈)使得bn((?))→0当n→∞时,从而(Ⅰ)∑i=1nsupx∈R{Cv[φ(x+xi/n)]-φ(x)≤supx∈RG(φ’(x),μ,μ)+bn((?)).(Ⅱ)∑i=1ninfx∈R{Cv[φ(x+Xi/n)]-φ(x)≥infx∈RG(φ’(x),μ,μ)-bn((?)).其中G(x,μ,μ):=x+μ-x-μ.引理1.3.3令G(x,y,z)函数定义同引理1.3.2,即G(x,y,z):=x+y-x-z.则对单调的φ∈Cb(R),有(Ⅰ)infy∈Dnsupx∈RG(φ’(x),μ-1/n∑ni=1yi,μ-1/n∑i=1nyi)=0.(Ⅱ)infy∈Dninfx∈RG(φ’(x),μ-1/n∑ni=1yi,μ-1/n∑i=1nyi)=0.经过上述三个引理的铺垫,我们可以引入本章第一个定理：分布极限定理.此定理表明,在Choquet期望下实验均值的分布极限是一个最大分布.定理1.4.1(分布极限定理)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.假设{Xi}∞i=1为独立同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ记部分和Sn:=∑ni=1Xi假设对任意i≥1,Cv[Xi]<∞.则对任意单调函数φ∈Cb(R),定理1.4.2(容度下的弱大数定律)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.令v(A):=Cv[IA],(?)4∈F假设{Xi}∞i=1为独立同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ.记Sn:=∑ni=1Xi假设对任意i>1,Cv[|Xi|]<∞若对任意φ∈Cb+(R),任意∈>0,则有下面,我们给出一个令最大分布等价于容度下弱大数定律的充分条件.定理1.4.3(等价定理)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.给定函数φ∈Cb+(R),假设{Xi}∞不=1为一列独立同分布随机变量列并满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ假设对任意i>1,Cv[|Xi|]<∞.令Sn:=∑ni=1Xi则结论(A)与(B)等价.(A)对任意(?)>0,令v(4):=Cv[IA],VA∈F,有(?)v(μ-ε≤Sn/n≤μ+ε)=1.(B)对任意φ∈Cb(R),等价定理的意义在于：若收敛结论对单调φ∈Cb(R)成立,则对任意φ∈Gb(R)都成立.我们由分布极限定理推广得到如下Choquet期望下大数定律.定理1.4.4(Choquet期望下大数定律)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.假设{Xi}∞i=1为独立同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ假设对任意i≥1,Cv[|Xi|]<∞.记Sn:=∑ni=1,Xi则对任意函数φ∈Cb(R),有注1.4.5由定理证明过程可知,随机变量同分布条件可以削弱为:随机变量具有有限共一阶矩,即{Xi}∞i=1满足1≤i≤n,Cv[Xi]=Cv[Xi],Cv[Xi]=Cy[X1]；Cv[|XI|]=Cv[|x1|],Cv[|Xi|]=Cv[|X1|]<∞.(Ⅱ)在第二章,我们用概率语言证得了次线性期望下的大数定律.本章是经典大数定律的自然推广.本章有四个主要结论：(1)我们对广义Ells-berg模型的极限分布进行了研究,并发现它的极限分布是一个最大分布.(2)我们将Ellsberg模型推广,得到了一个有关随机变量的充分条件,在这个条件下,实验均值的极限分布与Ellsberg模型的极限分布是一致的.(3)在次线性期望的φ-卷积独立定义下,我们给出了最大分布等价于容度下弱大数定律的充分条件.(4)我们将本章结论与文献结论进行了对比.在线性期望下卷积独立的启发下,我们将卷积独立这个概念推广到次线性期望之下.和变通项引理：引理2.3.1给定函数φ∈Cb(R)假设E为次线性期望,ε为其共轭期望.令{Xi}i=1∞为E下一列φ-卷积独立随机变量.则对任意常数yi∈R,1≤i≤n,有其中n则上述引理有如下变形：引理2.3.2令P为概率测度集,{Xi)i=1∞在每一个概率Q∈P下都是一列独立随机变量.则对任意常数yi∈R,i=1,2,…,n,和任意函数φ∈Cb(R),有其中下述泰勒展开引理是证明Choquet大数定律时的核心引理.我们将(0.1)式视为次线性期望E下的Linderberg条件.引理2.3.3假设E为次线性期望,￡为其共轭期望.假设随机变量序列{Xi}i=1∞具有有限共一阶矩且E[Xi]=μ,ε[Xi]=μ假设对任意∈>0,有则对任意单调函数φ∈C2b(R),(Ⅲ)特别的,若E[·]和ε[·]为概率测度集P上的上,下期望算子且满足则对任意单调函数φ∈C2b(R),经过上述引理的铺垫,我们引出容度下/次线性期望下的大数定律.定理2.4.1(Ellsberg型大数定律)给定一个概率测度集P,令(E,ε)分别为P上EQ生成的上,下期望.假设对任意Q∈P,{Xi}∞i=1是Q下一列独立随机变量,{Xi}i=1n具有有限共一阶矩(?)μ:=E[Xi],μ:=ε[Xi]使得假设条件(0.1)成立.记Sn:=∑ni=1Xi进一步,若则(Ⅰ)对任意单调函数φ∈Cb(R),我们有F,则对任意∈>0,定理2.4.2(次线性期望下的大数定律)假设E是一个次线性期望,￡是一个共轭期望.假设随机变量序列{Xi}∞i=1具有有限共一阶矩且E[Xi]=μ和ε[Xi]=μ.假设条件(0.1)成立.记部分和Sn:=∑ni=1Xi则有(Ⅰ)给定单调函数φ∈Cb(R),若{Xi}∞i=1是E下一列φ-卷积独立随机变量,则(Ⅱ)若对任意φ∈C+b(R),{X}∞i=1是E下一列φ-卷积独立随机变量,令v(A)：=ε[IA],VA∈(?),则对任意∈>0,类似第一章Choquet期望的结构,Ellsberg型大数定律(定理2.4.1)和次线性期望下大数定律(定理2.4.2)中的函数φ都局限于Cb(R)上的单调函数,为此我们引入次线性期望下的等价定理(定理2.4.3),将对单调φ∈Cb(R)成立的定理推广到对任意φ∈Cb(R)成立.定理2.4.3(次线性期望下的等价定理)假设E是一个次线性期望,ε是它共轭期望.对函数φ∈C+b(R),假设{Xi}∞i=1是一列φ-卷积独立的随机变量,具有有限共一阶矩且E[Xi]=μ和ε[Xi]=μ使得假设条件(0.1)成立.令Sn：=∑ni=1Xi则结论(A2)与(B2)等价.似(A2)对任意∈>0,(B2)对任意φ∈Cb(R),通过等价定理可知,Ellsberg型/E下的大数定律(Ⅰ)对任意φ∈Cb(R)都成立.表述如下.定理2.4.4假设条件同定理2.4..1.则对任意函数φ∈Cb(R),有定理2.4.5假设条件同定理2.4.2.给定任意φ∈Cb(R),若{Xi}∞i=1.是E下一列φ-卷积独立随机变量,则注2.4.6若{Xi)∞i=1的阶矩阶数大于1,即对任意常数β>1,E[|Xi|β<∞.注意到如果supi≥1E[|Xi|β]<∞,则定理2.4.5和引理2.3.3中的假设条件(0.1)都成立.所以根据Peng[32]中引理3.9的证明,定理2.4.5的条件φ∈Cb(R)就可以弱化为:连续函数φ满足增长条件|φ(x)|≤C(1+|x|β-1),去掉有界性.(Ⅲ)第三章,次线性大数定律在模糊条件下的应用.例子3.1(带有模糊性的罐子模型)考虑有限可数个罐子,按顺序将编号记为{1,2,…}.实验者被告知第i个罐子里有100i个小球(此后100i表示100乘以i),颜色为红色或者黑色.第i个罐子里红色球的个数为25i到50i个不等.实验者不知道除此之外的任何信息.每一次只能从一个罐子里取出一个小球.记由定理2.4.4知:当实验次数足够多,n次试验中摸到红球的个数的实验均值服从如下最大分布例子3.2(期权定价模型)令{B)t≥0为概率空间(Ω,F,P)上的几何布朗运动.{St≥o是服从几何布朗运动的股票价格:dSt=μStdt+σStdBt.在非完全市场下,欧式期权的未来损益函数为φ(ST):=(ST-L)+因为上期望是eμ+σκ,下期望是eμ-σκ,由定理2.4.5知股价的分布极限如下(Ⅳ)第四章,主要研究次线性大数定律的收敛误差估计.定理4.1假设E是一个次线性期望,￡是一个共轭期望.假设随机变量序列{Xi)∞i=1具有有限共一阶矩,E[Xi]=-μ,ε[Xi]=μ.若记部分和Sn:=∑ni=1Xi则二阶矩下的大数定律收敛误差估计如下.其中μ:=|μ|∨|μ|.当阶矩条件降低至(?)supl≤i≤nE[|Xi|1+α]<∞,0<α<1,误差估计相关结果见定理4.2.
【作者】陈静；
【导师】陈增敬；
【作者基本信息】山东大学，概率论与数理统计，2014，博士
【关键词】Choquet期望；次线性期望；大数定律；最大分布；卷积独立；事件独立；

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