Julia集的拓扑和几何性质研究

【摘要】全纯函数的Julia集的拓扑和几何性质的研究是复动力系统中的一个重要问题.这其中主要包括Julia集(或者其子集)的连通性,局部连通性以及正则性等内容.对于多项式的Julia集的拓扑性质,很多作者做了重要工作.首先是二次多项式fc(z)=z2+c,其中c属于Mandelbrot集,Yoccoz证明了如果fc不是无穷可重整的,则fc的Julia集J(fc)是局部连通的[38]Lyubich证明了当c取实数时,J(fc)局部连通[46].当参数c使得fc具有一个Siegel盘时,Petersen证明了如果fc在Siegel盘上的旋转数为有界型,则J(fc)也是局部连通的[57].如果旋转数为David类型,Petersen和Zakeri证明了Siegel盘的边界是Jordan曲线且对应的Julia集是局部连通的[58].此外Avila,Buff和Cheritat证明了存在边界光滑的Siegel盘的例子[4].对于三次多项式Branner和Hubbard证明了除可数多个连通分支外,其Julia集的连通分支都是单点[11].最近,文献[63]将这一结论推广到任意的多项式.而对有理函数来说,如果它是几何有限的,那么除可数多个连通分支以外,其Julia集的连通分支要么是单点,要么是一条Jordan曲线[59].第一个使得Julia集不连通并且其所有连通分支都是Jordan曲线的有理函数的例子是McMullen找到的[49].他证明了如果f(z)=z2+λ/z3中的λ足够小,则f的Julia集同胚于标准的三分Cantor集与单位圆周的乘积.这种类型的Julia集现在一般称为Cantor圆周.之后,更多的作者考虑更一般的函数族fλ(z)=Zm+λ/zl其中l,m≥2且λ∈C\{0},现在都称之为McMullen映射.容易说明当1/l+1/m<1且λ很小时,^的Julia集是一个Cantor圆周([49,§7],[24,§3]).这篇论文的第一部分主要研究Julia集为Cantor圆周的有理函数.目前仅知道存在适当的参数使得McMullen映射(或在其FatOu集上作扰动后的有理函数)的Julia集是Cantor圆周.这促使我们去思考是否存在其它的有理函数使得其Julia集为Cantor圆周.虽然Haissinsky和Pilgrim通过拟共形手术构造出了一类“本质上”与McMullen映射不同且Julia集为Cantor圆周的有理函数,但他们并没有给出这些有理函数的表达式[35].因而一个自然的问题就是能否给出这些有理函数的表达式.事实上,在这篇论文中,我们不但给出了这些类型的有理函数的具体表达式,而且还在“本质上”找到了所有Julia集为Cantor圆周的有理函数.这里所谓的“本质上”是指在考虑Julia上的拓扑共轭类的意义下.具体地说,我们找到了一族有理函数的表达式(McMullen映射是这族函数的特殊情形),使得取适当的参数后,它们的Julia集都是Cantor圆周.而另一方面,对于任意给定的Julia集为Cantor圆周的有理函数,我们总可以在找到的这族有理函数中找到一个函数与事先给定的函数使得它们在对应的Julia集上是拓扑共轭的(定理3.1.1和3.1.2).在此工作的基础之上,我们对Julia集为Cantor圆周的有理函数在Julia集上的拓扑共轭类的数目给出了计算公式和上下界估计,并对5≤d≤36的情形列出了具体数值表格,其中d为有理函数的映射度.双曲有理函数具有简单的动力系统性质,我们找到了一系列非双曲的有理函数使得它们的Julia集是Cantor圆周.据我们所知,这是第一个Julia集为Cantor圆周的非双曲有理函数的例子.其主要构造思想是将原来的双曲有理函数的吸引域用单连通的抛物域代替.论文的第二部分主要研究McMullen映射的Julia集的几何性质.根据逃逸三分定理,如果McMullen映射的自由临界点都被无穷远所吸引,那么它的Julia集只可能是一个Cantor集,一个Cantor圆周或者是一个Sierpiriski地毯[24].我们证明在这种情况下,McMullen映射的Julia集要么拟对称等价于一个标准的三分Cantor集,一个标准的Cantor圆周或者是一个圆的Sierpinski地毯(在某种意义下也是标准的).对于McMullen映射fλ中的参数λ属于实数的情形,文献[62,76]中给出了fλ的Julia集Jλ是一个Siorpinski地毯的充要条件.在此基础上,作者在本文中给出了Jλ拟对称等价于圆的Sierpinski地毯的充要条件.特别地,存在非双曲的有理函数,使得其Julia集拟对称等价于圆的Sierpinski地毯.此外,对于参数λ属于复数的情形,我们给出了Jλ拟对称等价于圆的Sierpinski地毯的一个充分条件(此时要求fλ的表达式中的两个整数满足l=m≥3).从拓扑的角度来看,所有的Cantor圆周都是一样的,这是因为它们都拓扑等价(同胚)于“标准的”Cantor圆周C×S1,其中C为三分Cantor集且S1为单位圆周.因此,为得到所有Cantor圆周构成的集合的更丰富的结构,我们可以用拟对称几何的角度来看.事实上,拟对称几何里面的一个基本问题就是判断两个给定的同胚的度量空间是否是彼此拟对称等价的.一个度量空间的共形维数定义为所有与之拟对称等价的度量空间的Hausdorff维数的下确界.根据对论文的第一部分找出的Julia集为Cantor圆周的有理函数族作组合分析,我们说明在这族函数中存在一些例子,使得它们的Julia集与McMullen的Julia集是同胚但不是拟对称等价的.特别地,这些例子也可以用来具体地验证存在Julia集为Cantor圆周的双曲有理函数使得其共形维数任意接近于2.论文的第三部分研究一族整函数的Siegel盘边界的正则性.全纯函数的Siegel盘的边界(是Julia集的一个子集)的拓扑和几何性质是一个非常重要的问题.对旋转数加上一定的算术的条件后,Douady猜想Siegel盘的边界一定是Jordan曲线.在这个问题上,Douady,Zakeri,Shishikura和Zhang对于有理函数的情形作出了重要贡献(见[26,77,66,80]).但对于超越整函数的情形这个问题远没有解决(见[32,41,78,79]).作者考虑了一维整函数族fa(z)=e2πiθsin(z)+αsin3(z):α∈C{0},并证明了当θ为有界型时,函数fα的以原点为心的Siegel盘的边界总是一个拟圆周且经过2个,4个,或6个临界点.论文的第四部分考虑了临界tableau的实现问题.临界标记tableau是Branner和Hubbard在研究三次多项式时引入的[11].这是一个非常有用的工具,它在研究Julia集的拓扑性质中起着十分重要的作用.Branner和Hubbard证明：如果一个抽象的临界标记tableau满足一些法则,那么这个tableau一定可以由一个三次多项式实现.我们用由多项式诱导的商树上的动力系统和树动力系统的实现定理(见[30,18])给出Branner和Hubbard的tableau实现定理的一个新的证明.此外,在论文的最后一部分作者还研究了McMullen映射的无穷远直接吸引域的边界性态,并给出了其Hausdorff维数的渐近表达式.
【作者】杨飞；
【导师】尹永成；
【作者基本信息】复旦大学，基础数学，2013，博士
【关键词】Julia集；Fatou集；Cantor圆周；Sierpinski地毯；McMullen映射；拟对称等价；Hausdorff维数；Siegel盘；类多项式树；tableau；

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