推广的Hermitean Clifford分析

推广的Hermitean Clifford分析

作者:师大云端图书馆 时间:2015-11-08 分类:期刊论文 喜欢:3775
师大云端图书馆

【摘要】复HermiteanClifford分析是多复变在非交换数学领域的推广,近五年来得到了迅猛发展。正如古典Clifford分析在李群表示论、Atiya-Singer指标定理、奇异积分算子理论、水波方程理论等理论具有重要的应用,HermiteanClifford分析理论具有潜在的重要性。复HermiteanClifford分析研究的算子是一个2×2矩阵算子。它是古典Clifford分析中Dirac算子在复Hermitean领域的推广。为了将多复变全纯函数理论纳入到复HermiteanClifford分析框架中进行研究,全纯函数的值域C总是等同于spinor空间。一个重要的事实是多复变中全纯函数恰是被该2×2矩阵算子零化的复值函数。因此,HermiteanClifford分析是多复变理论在非交换数学领域的推广。最近,通过四元数Witt基,复HermiteanClifford分析也被推广到四元数情形。本文的主要思想是将复HermiteanClifford分析进行两个方面的实质性推广。其一,我们将HermiteanClifford分析中的2×2矩阵算子通过代数手段合并为一个算子。其好处之一是该算子的零化空间比2×2矩阵算子的零化空间自然地增大,更重要的是复HermiteanClifford分析因此只研究一个算子,而不是矩阵算子,从而复HermiteanClifford分析与古典Clifford分析在某种意义下平行,这为深入研究复HermiteanClifford分析奠定基础。其二,我们研究复HermiteanClifford分析在其它代数结构的推广,例如我们将复结构推广到超复数结构、仿复数结构、双复数结构、分裂四元数结构。超复数等结构起源于广义相对论的Minkowski时空理论以及双复数量子力学理论,为微分几何理论提供新的代数结构,为分析理论提供新的算子。这些代数结构相应的几何理论正逐渐发展成为研究Minkowski时空数学,特殊几何,黑洞以及超对称等问题的最佳工具。我们建立了超复数HermiteanClifford分析、仿复数HermiteanClifford分析、双复数HermiteanClifford分析、分裂四元数HermiteanClifford分析,主要包括Cauchy积分理论、Bochner-Matinelli积分公式、边界值问题、Hilbert变换、超函数理论。各章内容如下。在第二章中,我们引入关于仿复数的Witt基以及仿复HermiteanDirac算子,建立相应仿复HermiteanClifford分析的积分理论,得到了相应的Cauchy积分公式,推广了多复变中的Matinelli-Bochner积分公式。进一步,我们统一了复HermiteanClifford分析和仿复HermiteanClifford分析,这种统一是通过引入一个参数统一两个相应的Dirac算子实现的。在第三章中我们建立了双复数HermiteanClifford分析。双复数HermiteanClifford分析研究双复数Dirac算子:D:C∞(R4n,W4n)→C∞(R4n,W4n),其中W4。为三个代数的张量积,即双曲四元数B,双复数B,Clifford代数R0,4。算子D为R4n中调和算子的一个平方根,由以下公式引入,D=∑j=03K(?)zj,其中K为血的基,(?)zj为双复数Clifford代数B(?)RR0,4n扭曲HermitianDirac算子。算子D的引入改变了以往在复的或四元数的HermiteanClifford分析流行的观点,即复的或四元数的Hermiteanmonogenic函数是由一个方程组而非如经典monogenic函数由被Dirac算子零化一个方程确定。与四元数的HermiteanClifford分析相比较,在双复数情形中扭曲实Clifford向量的Poisson括号一般来说不再为零。对于算子D,我们建立Cauchy积分公式,推广了多复变中的Matinelli-Bochner公式。在第四章中我们把四元数HermiteanClifford分析扩展到分裂四元数HermiteanClifford分析。我们引入了分裂四元数Witt基,以及分裂四元数HermiteanDirac算子D,该算子是域R4n中光滑函数空间的自映射,该光滑函数在双曲四元数B,分裂四元数血和Clifford代数R0,4n的张量积中取值。D由∑j=03K(?)zj定义,其中Kj为B的基,而(?)Zj为分裂四元数Clifford代数H(?)RR0,4n中的扭曲HermitianDirac算子。我们建立了相应的Cauchy积分公式。在第五章中,在仿复数HermiteanClifford分析中,通过边界值理论和Hilbert变换,我们刻画了紧集M(?)R2n上HermiteanDirac算子零化空间的对偶空间。它在广义函数和超函数理论中具有重要的应用。
【作者】陈琳;
【导师】任广斌;
【作者基本信息】中国科学技术大学,基础数学,2013,博士
【关键词】HermiteanClifford分析;仿复数;双复数;分裂四元数;Witt基;Dirac算子;Cauchy积分公式;边界值理论;Hilbert变换;对偶空间;

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