光滑度量空间上的几何与分析

【摘要】我们分四部分介绍.第一部分为Obata定理及其推广,第二部分为warped乘积空间中的自相似解以及加权的Minkowski不等式,第三部分为Bakry-Emery瑞奇曲率的单调性公式,第四部分为梯度瑞奇孤立子.I.Obata定理及其推广我们考虑推广的Obata方程：如果假设w有至少一个临界点,我们有下面的定理.定理0.1.设(Mn,g),n≥2是一完备的黎曼流形,且存在非常数的光滑解w满足推广的Obata方程(1),其中f(s)是一光滑函数.设w有至少一个临界点,那么M微分同胚于Rn或Sn.另外,(M,g)等距于Mf,μ,其中μ=ω(p).如果给f加一些条件,事实上没有必要假设ω有临界点.定理0.2.设(M,g)是一光滑的完备黎曼流形,其中n≥2,且存在非常数的光滑解满足推广的Obata方程(1),其中f是强制的,那么M=Mf,μ对某个μ.特别地,M微分同胚于Sn或Rn.定理0.3.设(M,G)是一光滑的完备黎曼流形,其中n≥2,且存在非常数的光滑解满足推广的Obata方程(1),其中f退化强制的,那么M微分同胚于Rn.如果n≥2,那么(M,g)等距于屿,Mf,μ对某个μ.定理0.4.设(M,g)是一光滑的完备黎曼流形,其中n≥2,且存在非常数的光滑解满足推广的Obata方程(1),其中f非退化强制的,那么M微分同胚于Sn.如果n≥2,那么(M,G)等距于Mf,μ对某个μ.如果存在非常数的光滑解w满足推广的()bata方程(1),那么(M,g)具有warped乘积结构.定理0.5.ω为(M,g)上非常数的光滑解且满足推广的Obata方程(1).令Ⅰ表示ω的像Iω的内部.取μ∈I,令那么(N,gN)是连通的完备流形,并且存在微分同胚F：I×N→Ω使得对所有(s,p)满足ω(F(s,p))=s.拉回度量F*G是warped乘积度量且由(2.40)给出.另外,M==Ω且(?)Q至多包含两个点,每个点是ω的最大值点或者最小值点.相反地,如果(N,9N)是一黎曼流形,h(s)是区间Ⅰ上的光滑正函数,那么在I×Ⅳ上ω=s满足推广的Obata方程,其中f=-1/2h’,且I×N赋予度量下面我们考虑Obata方程的双曲版本,令Wh(M,g)表示方程(2)的解空间.定理0.6.设(Mn,g)是一完备的黎曼流形,其中n≥2.令那么当且仅当(M,g)等距于Hn.因此,如果dimWh≥n,那么定理o.7.设(Mn,G)是一完备的黎曼流形,其中n≥2.令Wh=Wh(M,g).那么当且仅当(M,g)具有常截面曲率-1且微分同胚于Rn-1×S1(等价地,π1(M)=Z).精确的讲,dimWh=n-1当且仅当(M,g)等距于Hcoshn-1(S1(ρ))或Hcoshn-2(Hexp(S1(ρ)))对某个ρ>0.(前面的包含一条闭的测地线而后面的没有.)下面的定理给出了解空间Wh(Mn,g)为一般维数时(Mn,g)的刻画.定理0.8.设(Mn,g)为一完备的黎曼流形.设1≤k≤n-1,那么k当且仅当M等距于Hcoshk(N,gN)或其中(N,gN)是-n-k维的完备黎曼流形.如果(M,G)为非完备的,我们也有类似的定理.引理0.9.如果M是Sn中的开区域,那么定理0.10.令(M,g)为Sn中一连通的黎曼流形.那么dimWs(M,g)≥n当且仅当(M,G)等距于Sn中的一开区域.引理0.11.定理0.12.设(M,g)为Hn中一连通的黎曼流形.那么当且仅当(M,9)等距于Hn中一开区域.Ⅱ.Warped乘积空间中的自相似解以及加权的Minkowski不等式设∑是Rn中一闭的嵌入可定向光滑曲面.自相似方程定义如下：这里v是∑的单位外法向,H是平均曲率,X是位置向量.如果我们将欧氏度量写为那么这里我们考虑流形并赋予如下度量,同样我们假设∑是M中一闭的嵌入可定向光滑曲面.类似于(3),形式地我们定义自相似方程为),这里是∑的单位外法向,H是平均曲率.下面是我们关于自相似解的结果.定理0.13.设∑是M中一光滑的超曲面,设它的平均曲率为正且满足H=(X,v).如果外围空间M有非负的截面曲率且R(ei,ej,ek,v)=0,这里ei,ej,ek是∑的单位切标架,v是∑的单位外法标架,那么VA三0,i.e.∑的第二基本型是平行的.我们考虑warped乘积空间(M,歹)且赋予测度这里歹如(3.3)给出.这里我们选择特殊的f满足我们假设φ满足下面的条件.这里ξ：[0,α)→R是一光滑正函数且满足ξ(0)=1.(Ha)对所有的r∈(0,α),有φ’(r)>0(H3)函数是非递减的.我们得到下面加权的不等式.定理0.14.设M是-warped乘积流形且满足(H1)-(H4),设∑是一闭的星形超曲面且满足Hf>0.那么我们有下面的不等式,这里Ω是∑所包围的区域.Ⅲ.单调性公式关于测度e-fdvol,自伴随的f拉普拉斯为△f=△-▽f·▽.考虑f拉普拉斯的正的格林函数G(x0,·)(见定义4.6).对任意实数k>2,令b=G/2-k.对β,l,p∈R,适当的b,我们考虑r>0时Afβ(r)是良好定义的,Vfβ,p(r)是良好定义的如果证明的细节见引理4.9.如果这些约化为[23]中的A(r),V(r).如果k=l=n,p=2,这些是中的Aβ,Vβ.首先我们得到b的梯度估计.命题0.15.如果光滑的度量测度空间满足RicfN≥0,那么对k=n+N,存在r0>0,使得在M\B(x0,r0)上,如果RicfN≥0,我们得到关于A和V的线性组合的单调性公式.定理o.16.如果Mn(n≥3)满足RicfN≥0,那么,对(7)所以如果β≥2,那么Afβ-αVfβ,p关于r是非递减的.如果RicfN≥0,我们得到关于A的单调性公式.定理0.17.如果Mn(n≥3)满足RicfN≥0,那么对有事实上如果Ricf≥0,我们得到关于A以及A和V的线性组合的单调性公式.定理0.18.如果Mn(n≥4)满足Ricf≥0,那么对我们有对我们有IV.梯度瑞奇孤立子首先我们给出一个有用的引理,它用于证明下面的曲率界.引理0.19.假设(Mn,g(t))是瑞奇流的古代解.假设对任意的时间亡≤0黎曼流形(Mn,G(t))是完备的,并且它的截面曲率非负.令V(t)为(Mn,g(t))的渐近体积比,那么V(t)关于t是非递减的.下面我们得到满足某些条件的Ricciflow的曲率界.引理0.20.设(M,g(t))是一瑞奇流的永恒解,并且它的复截面曲率非负,假设(M,g(0))有欧氏体积增长,那么存在一致的常数C,对任意的(p,t)∈M×(0,∞),有作为应用,我们得到某些梯度扩张孤立子的曲率界.推论0.21.(M,g)是一梯度扩张孤立子,并且它的复截面曲率非负.假设(M,G)具有欧氏体积增长,那么曲率是有界的.
【作者】吴国强；
【导师】麻希南；叶如钢；
【作者基本信息】中国科学技术大学，基础数学，2014，博士
【关键词】Bakry-Emery瑞奇曲率；自相似解；孤立子；Obata定理；瑞奇流；

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