DNA超螺旋弹性杆模型的对称性与稳定性研究

【摘要】以DNA超螺旋的三维几何构型为背景的弹性杆模型,由于其极端细长性和超大变形而完全不同于传统弹性杆力学的研究对象,已发展为经典力学与分子生物学交叉研究的一个新领域.由于DNA超螺旋的极端细长和超大变形,其弹性杆模型表现为强非线性.对称性分析在非线性方程约化、寻求守恒律方面有其固有优势.将对称性理论引入DNA超螺旋弹性杆模型的分析,为其研究注入了新方法,同时也扩展了经典守恒量的概念.DNA超螺旋结构的稳定性对其生物功能的表达有重要意义,特别其动力学不稳定性分析在其包装过程中有重要应用.本文主要针对其对称性和动力学不稳定研究了以下几方面内容.一、DNA超螺旋弹性杆模型的对称性与守恒量研究(1)研究了DNA超螺旋Kirchhoff弹性杆静力学的Mei对称性与守恒量,得到了其Mei对称性的判据,构造了其守恒量.针对弹性杆模型具体的Lagrange函数密度,得到带原始扭率的弹性杆的三类第一积分,讨论了它们的物理意义.当弹性杆为圆截面,扭率为零的情况下都能退回到已有结果.本文结果可为DNA超螺旋弹性杆稳定性研究提供参考.(2)研究了受非完整约束DNA超螺旋弹性杆的离散Noether对称性摄动和绝热不变量.给出了弹性杆的离散非完整Lagrange方程,导出了离散版本的Noether对称性摄动的判据,构造了离散的Noether型绝热不变量.最后举例说明了如何利用以上结果寻找各阶绝热不变量.(3)将Noether对称性推广到以弧坐标和时间为双自变量的DNA超螺旋Cosserat弹性杆动力学.给出其Noether对称性的判据,通过重新定义守恒量,得到了弹性杆动力学的Noether守恒量.由于弹性杆模型的特殊性,部分守恒量拓宽了经典守恒量的范围.而积分形式的守恒量又为经典分析力学提出了新的研究问题.二、DNA超螺旋弹性杆静力学的薛定谔粒子波动比拟Kirchhoff动力学比拟将动力学的概念和研究方法注入到弹性杆静力学,为弹性杆平衡位形的研究奠定了基础.本文提出Kirchhoff杆和Kovalevskaya杆可积情形与一维薛定谔方程的比拟关系,从而将非线性薛定谔方程的Jacobi椭圆函数解移植到弹性杆静力学,将此解表达的粒子密度分布对应到DNA超螺旋弹性杆的稳态构型.通过数值模拟作出方程所表达的杆的三维图像.三、黏性流体中DNA超螺旋弹性杆的动力学不稳定性与应用以往关于弹性杆稳定性的研究通常是分析静力学方程解的稳定性,并不能描述弹性杆三维变形的动力学行为,DNA所处周围环境对其稳定性的影响也值得考虑.本文在动力学范围分析黏性流体中DNA超螺旋弹性杆的动力学不稳定性.(1)考虑两种情形,利用新摄动格式,推导出了黏性流体中DNA超螺旋弹性杆动力学方程的一次近似方程.以黏性流体中DNA平面扭转环为例,通过线性分析确定其稳定的临界值.对比了两种情形下的结果并讨论了黏性对DNA微环不稳定性的影响.(2)研究了黏性流体中单杆生长的动力学稳定性.分析了其不稳定的临界判据和失稳后振幅随模态的变化曲线.(3)单杆理论在模拟DNA双螺旋三维结构中取得成功,但是不能用于解释DNA的解链(融解)过程.有必要发展双杆理论.本文基于2014年vanderHeijden等发展的2-braids平衡理论,将其推广到动力学范畴.给出了描述麻花辫杆运动的几何关系,建立了其动力学方程.四、展望.包含复杂约束DNA弹性杆的对称与守恒问题,薛定谔粒子波动比拟的更一般情形,弹性杆的生长问题等有待进一步研究.
【作者】王鹏；
【导师】刘宇陆；
【作者基本信息】上海大学，一般力学与力学基础，2014，博士
【关键词】DNA超螺旋弹性杆模型；对称性；稳定性；Kirchhoff动力学比拟；分析力学；

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