赋值理论及相关问题研究

【摘要】本博士论文的研究内容隶属于凸几何分析理论,主要致力于赋值理论中凸体值赋值的分类问题和Orlicz空间中若干几何量的研究.这些都是凸几何分析领域的热点问题,涉及到Lp-Blaschke赋值的完全分类,Orlicz极小几何表面积,混合Orlicz均质积分,非对称Orlicz带胞形以及不等式的等价性等问题.凸体值赋值根据加法运算的不同,分为Minkowski赋值和Blaschkle赋值.2011年,C.Haberl给出了所有与一般线性变换相容的,连续对称的Blaschkc赋值的一个完全分类.本文的第二章在Haberl工作的基础上,将Blaschke赋值进行推广,建立了一类连续,线性缠结的对称Lp-Blaschke赋值的完全分类.我们还运用Lutwak,Yang和Zhang提出的规范化思想,得到了规范化的Lp-Blaschke赋值的特征,并说明当空间维数大于等于3时,连续的,线性缠结的,规范化的对称Lp-Blaschke赋值唯一可能是Lp曲率像算子.第三章中,我们引进了非对称Orlicz带胞形Zφ+的定义,并应用Campi和Gronchi发现的影子系统证明技巧,对Zφ+及其极体关于对的体积比和体积积函数进行了精确的上下界估计.1974年Petty提出极小几何表面积的定义,这是凸几何分析中的一个重要基本的概念.1996年,Lutwak将极小几何表面积推广到Lp-Brunn-Minkowski理论中进行讨论.而第四章将借助Gardner,Hug和Weil引入的Orlicz混合体积概念,提出了Orlicz极小几何表面积的定义,并对其性质和对应的等周不等式进行了讨论.第五章中,我们继续利用Gardner,Hug和Weil的思想,将混合p-均质积分推广到了Orlicz形式,并得到关于混合Orlicz均质积分的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式.i次Orlicz极小几何表面积作为混合Orlicz均质积分的一个应用,得到了详细的讨论.Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式是凸几何理论中的两个经典不等式,是解决各类体积、表面积、宽度等度量关系难题的强有力工具,一直以来是数学家们研究的重点.最近,随着Orlicz-Brunn-Minkowski理论的建立和完善,Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式的Orlicz形式也已产生.第六章讨论了在一定条件的限制下,经典的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式,Orlicz形式的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式这四个不等式是等价的.
【作者】袁淑峰；
【导师】冷岗松；
【作者基本信息】上海大学，基础数学，2014，博士
【关键词】凸体；L_p-Blaschke赋值；非对称Orlicz带胞形；体积不等式；Orlicz极小几何表面积；混合Orlicz均质积分；Minkowski不等式；Brunn-Minkowski不等式；等价性；

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