双曲线的发生教学研究

【摘要】圆锥曲线是高中数学课程重要的组成部分之一,也是每年数学高考考查的重点内容。圆锥曲线的学习是让学生体会解析几何的重要思想：用代数的方法研究几何问题。双曲线部分位于圆锥曲线学习的中间位置,椭圆之后,抛物线之前。由于图形的复杂和性质公式的繁琐,通常是圆锥曲线最难掌握的一部分。尽管新课程改革后,已经降低了对双曲线考察的力度,但学生学习双曲线仍感觉很艰难,所以对双曲线的教学进行研究和改善势在必行。知识学习的最初往往来自于概念的学习,概念理解的程度往往是其他部分学习的基础。因此对于双曲线的概念引入和方程的推导应该给予重点关注。现行课本对于双曲线概念的引入和方程的推导基本上来源于对椭圆的类比,尽管这样的处理方式比较简洁,也体现了数学的重要的思想方法—类比法,但是对比发生教学思想,它有以下不足：(1)没有交代为什么我们要研究双曲线,且研究的方法单一,事实上用拉链的开合是很难真正画出平滑的双曲线的,因此很难激发出学生的学习兴趣；(2)双曲线的引入相当突兀,几乎是直接“抛”给学生,课堂上缺乏探索和交流,学生根本就感受不到双曲线是如何形成的。因此本文对圆锥曲线特别是双曲线的形成进行了研究,找到并分析了双曲线最初的截面定义和现在第一定义之间的关系,并对历史上多种经典的双曲线标准方程推导的方法进行了比较,最后结合了现今不同版本的教材对双曲线的编排目的,在基于发生教学法的理论要求上,重构了双曲线的发展历史,设计出基于数学史的2种双曲线概念引入方式和标准方程的推导方法,并同课本给出的方式方法进行了比较,收到了较好的反馈。本文首先通过文献研究法确定了研究问题,再通过问卷调查了学生对于课本上处理双曲线方式的接受程度,然后调查了教师和学生对于作者给出的基于数学史的双曲线概念引入和方程推导的教学设计的选择倾向性,最后通过对教师的深入访谈探讨了教师们对作者这个教学设计的意见和建议,从中得到了以下结论：(1)现阶段双曲线的教学脱离了生活实际,又没有独特的数学方法(仅类比椭圆),导致学生缺乏学习双曲线的兴趣。(2)由于学生对双曲线没有太多的直观印象,课本中单一的引入方式会给学生造成片面的理解,因此对双曲线概念的建立应从不同的角度进行教学。(3)高中生对于“平面(不过锥面顶点且与圆锥的轴所成的角小于圆锥的二分之一夹角)斜截对顶圆锥的截口曲线是双曲线”或是“双曲线光学性质的应用”都有很好的理解,所以他们是可以接受这样的双曲线概念的引入方式。(4)在对双曲线概念引入和标准方程推导的教学方式选择上,教师和学生完全相反,教师偏爱于课本方式,学生则偏爱于基于数学史的教学设计。究其原因,各自考虑的出发点不一样,教师更注重教学的效率,学生则更希望教学能让他们产生学习的兴趣。(5)尽管教材的编写更多注重概念的逻辑顺序,而非概念产生的历史顺序,但针对适合的教学主题,通过重构历史,让学生经历数学知识发生发展的过程,使数学学习成为“再创造”,会是一种很好的教学方式。基于上面的结论,本文得出了教学启示,并附有四种基于数学史的双曲线教学设计。
【作者】程琛；
【导师】梅全雄；
【作者基本信息】华中师范大学，课程与教学论，2014，硕士
【关键词】圆锥曲线；双曲线；发生教学法；发生教学设计；

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