极小ABC指数树的搜索与刻画

【摘要】分子拓扑指数(分子图的拓扑不变量)被广泛地应用于理论化学的定量结构-性质/活性关系(QSPR/QSAR)研究,是现代化学图论中最活跃的研究领域之一1998年Estrada等人提出分子连通性指数,简称为ABC指数.令G=(V,E)为一简单连通有限图,其ABC指数定义为：其中d(vi)为G中的顶点vi的度.ABC指数已被证实和烷烃的生成热密切相关,能够预测它们的热力学性质,已被成功地用于研究烷烃的稳定性和环烷烃的应变能等.为了更好地应用ABC指数,首要的一个问题就是确定ABC指数在某些特定图类上的极图.Furtula等证明了在所有树中星是唯一的极大ABC指数树,然而,刻画极小ABC指数树至今尚未得到解决.解决该问题的一个有效途径是重复“搜索一猜想一证明”过程,即：(1)搜索低阶极小ABC指数树,(2)猜想极小ABC指数树的性质,(3)理论证明这些性质,(4)利用证明了的性质改进搜索算法,搜索更高阶的极小ABC指数树,依搜索结果修正对极小ABC指数树性质的猜想并证明之,(5)重复(4).Gutman等人设计了一个暴力搜索算法；虽然采用了具有400个CPU的网格计算,运行了150天,该算法仅搜索至。；通过观察所得的极小指数树Gutman猜想n(n≥10)阶极小ABC指数树应具有如下性质：(1)无2长及以上内部路；(2)无4长及以上悬挂路；(3)至多一条3长悬挂路；(4)无1长悬挂路.Gutman等人证明了前三条猜想,我们证明了第四条.我们的结论是目前已知的极小ABC指数树的最重要的结构性质.Gutman等人又设计了一个非完全搜索算法,搜索至n=700,并依搜索结果提出了“模7猜想(modulo7conjecture)”.然而该猜想被Ahmadi等人证明是错的.Dimitrov设计了一个基于度序列的搜索算法,用了15天在普通PC机上搜索至n=300,修正了Gutman等人的模7猜想.然而Dimitrov的算法并未充分利用极小ABC指数树的度序列的性质,且在度序列的生成上是递归的,无法并行化,随着n的增大,该算法将不可行.我们证明在给定度序列的树中BFS(bread-firstsearching)树是一个极小ABC指数树.我们充分利用极小ABC指数树的度序列的性质,改进了Dimitrov的算法.我们的算法仅需枚举2%以下的部分度序列,其串行实现的效率约为Dimitrov的算法的5倍；并且我们的算法易于并行化,新算法的MPI+OpenMP实现搜索30≤n≤300仅需约0.21小时,效率是Dimitrov的算法的1714倍以上,搜索30≤n≤400仅需约23小时.综上,本文在极小ABC指数树的研究上,理论上给出了目前已知的最重要的结构特征,并给出了迄今为止效率最高的搜索算法.这些成果为极小ABC指数树的完全刻画做了很好的准备.
【作者】林昕；
【导师】林文水；
【作者基本信息】厦门大学，计算机技术，2014，硕士
【关键词】ABC指数；树；度序列；并行搜索；

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