基于树分解的难解问题的参数算法研究

【摘要】NP难解问题是理论计算机科学的主要研究对象,对NP难解问题提出实际有效的固定参数可解算法是理论计算机科学中的一个新的研究方向。参数计算方法是求解实际应用问题的一种新的有效手段,目前己在相当多领域中得到了成功的应用。本文选取社会学和生物信息学中的正负支配、三值支配、联盟和序列结构比对等经典的NP难解问题为研究对象,对这些问题进行参数化建模后,基于树分解技术并综合运用核心化、分支限界、动态规划等多种参数计算技术对它们展开了一系列的研究。其主要研究工作包括：本文证明了社会学中的正负支配问题即使在二分图,弦图上都是NP-完全的,并通过抓住图中顶点要么在正负支配集内,要么与集合中至少两个顶点相邻的特点,分析集合中顶点与集合外顶点之间边的关系,给出了参数化正负支配集问题在一般图、平面图、二分图、限定最大度图、正则图以及网格图上的核。然后利用正负支配集大小和正负支配函数权值之间的线性关系快速地得到了这些图上正负支配函数的最小权值的下界,并证明了都是严格下界。最后对参数化正负支配集问题提出了一个在限定树宽t的图上时间复杂度为O((4k)2tmn)的固定参数算法,并由此得到了平面图上时间复杂度为O(2o(√klogk)n2)的亚指数时间算法。本文从两个角度对三值支配问题进行参数化并研究其参数复杂性。如果以三值支配函数的权值大小为参数,证明了该问题是NP-完全但不存在固定参数算法。如果以三值支配集的大小为参数,本文不但通过将红-蓝支配集问题参数化规约到该问题上,证明该问题在一般图上是W[2]-难度的,还通过限定树宽图上的参数算法和Bidimensionality理论也提出了该问题在平面图上亚指数时间算法。最后通过对间隔图上三值支配问题所有的状态分析及状态转换,利用有限状态自动机给出了三值支配问题在间隔图上的线性时间算法。本文给出了联盟问题中的防守联盟、进攻联盟、全局防守联盟和全局进攻联盟的参数算法和核。首先利用防守联盟中顶点度不超过2k-1以及至少有一半邻居在防守联盟中的特点,运用分支限界技术对防守联盟问题提出了时间复杂度为O(knk)的参数化算法,并利用核下界理论证明了这防守联盟和进攻联盟问题不存在多项式大小的核。对全局防守联盟和全局进攻联盟问题,本文给出了限定树宽图上的固定参数算法以及一般图和平面图上的核。序列结构比对是生物信息学中的经典NP难解问题,本文利用序列有小树宽和序列之间碱基映射小范围这两个小参数特性给出了序列结构比对问题的参数算法。通过将限定树宽图上的最大团问题进行规约证明了序列结构比对问题是固定参数可解的,并在此基础上运用动态规划技术对参数化序列结构比对问题提出了一个时间复杂度为O(ktN2)的参数算法,其中N为目标序列的长度,k是映射宽度,t为模板序列的树宽。本文的研究成果对社会学和生物信息学中的难解问题的求解提供了借鉴,并为树分解技术的应用提供了有效途径。
【作者】郑莹；
【导师】陈建二；王建新；
【作者基本信息】中南大学，计算机科学与技术，2013，博士
【关键词】NP难解问题；参数计算；固定参数可解；树分解；

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