若干非线性偏微分方程动态系统降维问题的研究

【摘要】摘要：先进的工业技术如半导体制造、纳米技术、生物技术、材料工程和化学工程中系统描述的典型特征就是输入、输出甚至参数都是随时间和空间位置的不同而变化,其时空耦合特性在数学上用非线性偏微分方程(PDEs)进行描述。由于偏微分方程动态系统空间变量的特征,导致对空间进行离散,或者是基于傅里叶展开的思想进行变量分离以后将产生无穷维的系统。但是由于实际应用中有限的传感器和执行器个数,一个合适的有限维数学模型是对上述过程进行如系统分析,优化和控制的必然要求。因此,非线性偏微分方程动态系统的降维问题是一个广泛且非常重要的问题。本文主要对非线性偏微分方程动态系统的降维理论和方法进行进一步深入研究,主要基于时空分离的思想,探讨在基于基函数展开结合权重残差方法的基础上如何构建非线性偏微分方程动态系统的维数更低的近似系统。本文的主要内容包括以下几个方面：1)基于最优化方法的自治偏微分方程动态系统降维方法。受现有的如主元分析,平衡截断等常微分方程变换方法的思想启发,提出基于时空分离和权重残差方法获得高阶常微分方程系统,提出与变换矩阵相关的时间能量误差函数,结合最优化方法来获得包含系统主要动态的低维系统。将高阶常微分方程组的动态变量进行线性变换,其中变换矩阵由优化高维与新低维的动态系统能量误差得到。基于获得的线性变换矩阵,将高阶常微分方程系统变换到低阶的常微分方程动态系统,得到的低维系统代表了原高阶系统的能量,较低的维数大大的简化在非线性偏微分方程动态系统应用的时控制器设计,具有比较大的工程价值。2)基于改进误差函数的非线性偏微分方程控制系统最优化降维方法。主要研究基于改进误差函数的非线性偏微分方程控制系统最优低维近似系统的方法。通过选取的一般空间基函数可以得到维数较高的常微分方程动态系统,同时将高维空间基函数组进行转换可以得到新的空间基函数组。建立一个与基函数转换矩阵相关的改进能量误差函数,其中优化改进的能量误差函数得到基函数转换矩阵。结合基函数转换可得到新的空间基函数组,进而采用时空分离和投影得到维数较低的常微分方程组。本方法能提高建模的效果,减少预测误差以及获得较为均匀的误差分布,简化非线性偏微分方程动态系统应用的时控制器设计。3)基于实验特征函数最优组合的非线性偏微分方程动态系统降维方法。为了补偿在计算实验特征函数时忽略系统变量的动态信息,提出基于实验特征函数最优组合的非线性偏微分方程动态系统降维方法。新的全局离散基函数由预选定的高维实验特征函数进行组合,且建立一个与组合矩阵相关的能量误差函数,通过最优化方法计算得到最优的基函数组合矩阵。基于组合以后得到的新实验特征函数进行时空变量分离和投影,可以得到维数更低的代表原系统动态的常微分方程动态系统。该方法能采用现有的最优化方法,计算简便,得到的最优实验特征函数组合能弥补原来采用实验特征函数进行直接降维时忽略掉的动态信息,因此在相同的精度要求下能得到维数更低的近似系统。
【作者】帅军；
【导师】韩旭里；
【作者基本信息】中南大学，应用数学，2014，博士
【关键词】非线性偏微分方程；动态系统；降维；时空变量分离；最优化方法；

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