Erd(?)s-Turán猜想及表示函数等加性问题

【摘要】本文中我们主要研究了Erdos-Turan猜想、表示函数、和集与差集及加法补.具体工作如下：1.Erdos-Turan猜想设N为所有非负整数构成的集合且A(?)N.对n∈N,令σA(n)表示方程αl+α2=n,α1,α2∈A的解数.若对所有非负整数n都有σA(n)≥1,则称A为N的一个基.若对所有充分大的整数n都有σA(n)≥1,则称A为N的一个渐近基.1941年,Erdos和Turan提出了如下著名猜想：若A为N的一个渐近基,则σA(n)一定无界.1990年,Ruzsa证明了：存在N的一个基A,使得∑n≤NσA2(n)=O(N).2008年,Tang证明了：存在N的一个基A,使得对所有充分大的整数N都有∑n≤NσA2(n)≤1449757928N.2010年,Tang进一步改进了上述结果：存在N的一个基A,使得对所有整数N≥7.628517798×1027都有∑n≤NσA2(n)≤1069693154N.2013年,Chen和Yang给出了Ruzsa的结果的简化证明,成果发表在EuropeanJ.Combin.上.对任意实数α>0,令Sα(A,N)为σA(1),σA(2),…,σA(N)的α次均值.本文中,我们证明了：(i)存在N的一个基A,使得对所有整数N≥1都有∑n≤NσA2(n≤670N.(ii)若A为N的一个渐近基,则对任意实数α>0都有Sα(A,N)≥2+oN(1).(iii)对0<α<1,存在N的一个基A,使得Sα(A,N)≥2+oN(1)和#{1≤n≤N:σA(n)=2}=N+O(Nlog3/log4)同时成立.2.表示函数设A(?)N.对n∈N,令R1(A,n)=σA(n),R2(A,n)和R3(A,n)分别表示方程α+α’=n,α,α’∈A,α<α’和α+α’=n,α,α’∈A,α≤α’的解数.对于i∈{1,2,3},Sarkozy教授提出如下问题：是否存在集合A,B满足|(A∪B)\(A∩B)|=+∞,使得对所有充分大的整数n都有Ri(A,n)=Ri(B,n)?2002年,Dombi解决了i=1和i=2的情形.2003年,Chen和Wang解决了i=3的情形.Dombi和Chen,Wang所构造的集合A,B满足B=N＼A.随后Lev,Sandor以及Tang分别给出了不同的证明.设k1,k2均为整数.令κ1,κ2(A,n)表示方程n=κ1α1+κ2α2,α1,α2∈A的解数.本文中,我们证明了：定理1.若k1,k2为整数且满足k2≥k1≥1,则存在集合A(?)N,使得γκ1,κ2(A,n)=γκ1,κ2(N\A,n)对所有充分大的整数n都成立的充要条件为k1|k2且k2>k1.该结果发表在J.NumberTheory上.3.和集与差集设A(?)N.令A+A和A-A分别表示形如α1+α2,α1,α2∈A和α1-α2,α1,α2∈A的整数构成的集合.1986年,Erdos和Freud提出如下猜想：若A(?){1,2…,n}满足|A|>n/3,则存在某个2的方幂能表示成A中若干个数之和.取A={α:α∈{1,2,…,n),3|α},我们容易看出A中元素之和均为3的倍数,从而不包含2的任意方幂.故此猜想中的界是最佳的.1990年,Erdos和Freiman证明了此猜想.2010年,Kapoor证明了：对当k→∞时有ακ+1/ακ→α的无界正整数序列{αk}以及实数β>max(α,2),若整数集A(?)[0,x]满足0∈A及|A|≥(1-1/β)x,则A+A至少包含{ak}中的一项.本文中,我们证明了：定理2.设实数β>1以及无界正整数序列{ak}满足对所有正整数k都有ακ+1/ακ≤β.假设n>(1+1／(2β))a1且A(?){0,1,…,n}.(i)若所有8k都是偶数且则(A+A)n(A-A)至少包含{ak}中的一项；(ii)若ak不全是偶数且则(A+A)∩(A-A)至少包含{ak}中的一项.结论(i)和(ii)都是最佳的.另外,我们有如下推论：推论.设n≥3为一整数.若A为{0,1,…,n}的一个子集且满足|A|>4n/5,则(A+A)∩(A-A)至少包含一个2的方幂.另外,这里的4/5是最佳的.该成果发表在Bull.Aust.Math.Soc.上.4.加法补设Z为所有整数构成的集合.对A,B(?)Z,令A+B={[α+b:α∈A,b∈B}.若A+B=Z,则称集合A为B在Z中的一个加法补.若A是B的加法补,且A的任一真子集都不是B的加法补,则称集合A为B的极小加法补.2011年,Nathanson提出如下问题：设W(?)Z为一无限集.在Z中是否存在W的极小加法补?在Z中是否存在W的一个加法补不包含极小加法补?本文我们证明了如下结论：定理3.设整数集W满足infW=-∞以及supW=+∞,则W在Z中存在极小加法补.由下面一个定理可知：当infW>-∞或supW<+∞(取W1=-W,则infW1>-∞)时,W在Z中的极小加法补不一定存在.定理4.设W={1=ω1<ω2<…}为整数集且W=(z∩(O,+∞))\W={ω1<ω2<…}.(a)若则W在Z中存在极小加法补；(b)若则W在Z中不存在极小加法补.该成果发表在SIAMJ.DiscreteMath.上.
【作者】杨全会；
【导师】陈永高；
【作者基本信息】南京师范大学，基础数学，2014，博士
【关键词】Erdos-Turan猜想；渐近基；表示函数；和集；加法补；极小加法补；

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