可嵌入图的染色问题

【摘要】1736年Euler发表在圣彼得堡科学院中的《柯尼斯堡的七桥》成为了图论历史上第一篇重要的文献.由此,开创了数学中的一个分支-图论的研究.而在十九世纪中叶四色猜想被提出后,图的染色问题又成为图论一个非常重要的研究课题.一百多年以来,四色猜想一直引领着图论的发展,1976年,Appel和Haken两人借助计算机才得以证明了该猜想,于是四色猜想变成了四色定理.以此为标志,作为现代应用数学基石的新分支-图论进入了迅猛发展期.图的染色理论在组合最优化,计算机理论,网络设计等方面也起着重要的作用,例如网络中的数据传输,Hessian矩阵的计算等.本文旨在讨论可嵌入图的几类染色问题以及与其相关的著名猜想.我们约定,除非特别明确指出,本文中所有的图都是无向,简单,有限并且非空的.对于一个图G来说,我们分别用V(G),E(G),F(G),δ(G),△(G)(或简单的用V,E,F,δ△)来代替图的点集,边集,面集,最小度以及最大度.首先,我们研究的是图的全染色.对于一个图G=(V,E),它的一个正常k-全染色,是指图G的一个映射,使得G中任意两个相邻的点,相邻的边,以及相关联的点与边都分配到不同颜色的染色.如果一个图G存在一个正常的k-全染色,则称该图是k-全可染的.使得图G是k-全可染的最小整数k称为图G的全色数,记为χ”(G).显然,χ”(G)≥△+1Behzad与Vizing分别独立给出了著名的全染色猜想：对任意图G,都有χ”(G)≤△+2.对于平面图来说此猜想唯一还没有被证明的就是△=6的情况,本文证明了此猜想对于可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图来说除了△=6也都是成立的.另外,对于最大度比较大的平面图可以得到它的一个精确值,也就是说,χ”(G)=△+1.这个结果刚开始是对于△≥14给出的结论,后来王维凡把此结果推广到△=10,目前,此结果已经被证明对于△≥9是成立的,本文将证明此结果对于△≥9的可嵌入到欧拉示性数非负曲面图也是成立的.另外,对于最大度为7或8的平面图,加上一些围长或者圈的限制,我们也得到了很多比较好的结果.其次,本文还讨论了图的线性荫度.如果一个图它的每一个分支都是路,我们称之为线性森林.一个图G的线性荫度是指把图G中的边集剖分成线性森林的最小数目,记为la(G).关于线性荫度,1980年,Akiyama,Exoo与Harary猜想la(G)≤[(?)]对每个正则图G都成立.显然,对于每个图G都有la(G)≥[Δ/2],对于每个正则图G都有la(G)≥[Δ+1/2],因此,Akiyama,Exoo与Harary的猜想等价于如下猜想,即线性荫度猜想:设G是一个简单图,则[Δ/2]≤la(G)≤[Δ+1/2].目前,线性荫度猜想仅被证明对几类特殊的图成立.本文我们证明了线性荫度猜想对于可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图也是成立的.另外,最近,M.Cygan等人提出了一个比较有意思的猜想：对于△≥5的平面图G,la(G)=[Δ/2].他们还证明了此猜想对于△≥9是成立的.在本文中,我们也证明了此结果对于△≥9的可嵌入到欧拉示性数非负曲面图也是成立的.另外,对于△≤7的平面图我们也得到了关于线性荫度的一系列结果.最后,本文还探讨了图的列表边染色与列表全染色.如果对于图G的任意一条边e∈E(G),我们给其一个颜色集合L(e),那么就称L为G的一个边列表.如果G存在一个正常的边染色φ,使得对每条边e∈E(G)都有φ(e)∈L(e),则称图G是L-边可染的,或者称φ是图G的一个L-边染色.对于图G的任意一个满足条件|L(e)|≥k的边列表L,其中e∈E(G)为G的任意一条边,如果G都是L-边可染的,那么就称图G是k-边可选择的.使得图G是k-边可选择的最小正整数k称为图G的列表边色数,记作χ’l(G).类似地,我们可以给出图G的列表全色数χ”l(G)的定义.从上述定义中我们马上可以得到下列关系：χ’l(G)≥χ’(G)≥△,χ”l(G)≥χ”(G)≥△十1.作为图的经典染色的推广,列表染色已经得到了广泛的研究,其中一个著名的猜想就是：如果图G是一个多重图,那么(a)χ’l(G)=χ’(G),(b)x”_l(G)=x”(G)结合Vizing定理和全染色猜想,很容易得到如下猜想:对于任意一个图G,(a)x’_l(G)≤△+1,(b)x”_l(G)≤△+2.Borodin等人证明了对于△≥12的可嵌入到欧拉示性数非负曲面图来说,χ’l(G)=△且χ”l(G)=△+1.我们主要是研究最大度比较小的平面图在符合什么条件下是满足χ’l(G)=△且χ”l(G)=△+1的.具体地说,本文分四章进行讨论.第一章,我们给出一个相对完整的简介.首先,我们介绍了一些图论中的基本术语与符号,然后,我们给出本文讨论所涉及到的几类染色问题的详细定义,并给出与之相关的猜想与课题,最后给出本文的主要结论.第二章,我们研究了图的全染色.首先,对于一个可嵌入到欧拉示性数非负曲面∑的图G,我们证明了χ”(G)≤max{9,△+2}.这个结果显示了,全染色猜想对于可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图来说只有△=6未证明.另外,我们还证明了对于一个可嵌入到欧拉示性数非负曲面∑的图G,其全色数χ”(G)≤max{10,△+1}.其次,我们给出了一些在平面图上的结果.对于△≥7的平面图G,我们证明了如果图G不含相邻的4-圈,则χ”(G)=△+1.对于△≥8的平面图G,我们证明了如果对图G任意一点v,存在两个整数iv,jv∈{3,4,5,6}使得v不关联相邻的iv,jv-圈,或者如果对图G任意一点v,存在两个整数iv,jv∈{3,4,5,6,7,8}使得v不关联相交的iv,jv-圈,或者对于图G任意的点v,点v不关联含弦的6-圈,或者不关联含弦的7-圈,或者不关联5-圈含两弦,则χ”(G)=△+1.第三章,我们讨论了图的线性荫度.首先,对于一个可嵌入到欧拉示性数非负曲面∑的图G,我们证明了[Δ/2]≤la(G)≤[Δ+1/2].这意味着,对于可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图而言,线性荫度猜想是成立的.另外,我们还得到了对于此类图,如果△≥9,则la(G)=[Δ/2].其次,我们还给出了一些在平面图上的结果.对于△≥5且没有相邻4-圈的平面图,我们证明了如果图G中不含相邻的3-圈与5-圈,或者如果图G不含相交的3-圈与4-圈,则la(G)=[Δ/2].对于△≥7的平面图,我们证明了如果图G不关联含弦的i-圈其中i∈{4,5,6,7},或者如果对于任意一点v,存在两个整数iv,jv∈{3,4,5,6,7,8}使得v不关联相邻的iv-圈和jv-圈,则la(G)=[Δ/2].第四章,我们讨论了图的列表边染色与列表全染色.对于△≥7的平面图G,如果任意4-圈不相邻任意的i-圈其中i∈{3,4},则χ’l(G)=△且χ”l(G)=△+1.另外,对于△≥8且不含相邻4-圈的平面图G,其χ’l(G)=△且χ”l(G)=△+1.
【作者】王慧娟；
【导师】吴建良；
【作者基本信息】山东大学，运筹学与控制论，2014，博士
【关键词】点染色；边染色；全染色；线性荫度；列表染色；平面图；欧拉示性数；

【参考文献】
[1]康煊.应收账款管理研究[D].首都经济贸易大学,会计学,2014,硕士.
[2]林嘉祈.针药联合心理疗法治疗心脾两虚型产后抑郁症的临床研究[D].广州中医药大学,中医妇科学,2013,硕士.
[3]熊莎.清代食养文献研究[D].华中师范大学,历史文献学,2012,硕士.
[4]费爱蓉.基于贝叶斯方法的Web服务分类的研究[D].合肥工业大学,计算机应用技术,2004,硕士.
[5]姚程晨.医疗“知情同意”的法律分析[D].兰州大学,民商法学（专业学位）,2013,硕士.
[6]谢一乐.降膜式多管湿壁塔的气体和液体分布装置[J].石油化工设备.1993(02)
[7]张顺.X80石油管道多丝直缝埋弧焊的模拟研究与实验验证[D].华南理工大学,机械工程,2012,硕士.
[8]刘亚娜.利奥塔知识合法化问题研究[D].西南交通大学,科学技术哲学,2014,硕士.
[9]刘倩.慢性乙型肝炎不同免疫时相期NK细胞功能的研究[D].华中科技大学,内科学,2013,硕士.
[10]苗艳伟.刚柔球面接触副关节轴承的摩擦诱导成膜机理研究[D].河南科技大学,机械设计及理论,2014,硕士.
[11]冯静.中学语文活动课设计与实验研究[D].西北师范大学,教育,2003,硕士.
[12]荣建龙.新疆劳教戒毒局综合业务管理系统设计和实现[D].厦门大学,软件工程,2014,硕士.
[13]李芳.高中信息技术课堂多媒体网络平台互动方式探究[D].河北师范大学,现代教育技术,2014,硕士.
[14]刘建军.电动汽车对电网运行的影响研究[D].青岛大学,电力系统及其自动化,2013,硕士.
[15]张新光.奇异非线性方程边值问题的解及其应用[D].曲阜师范大学,应用数学,2004,硕士.
[16]修磊.公司法中的公司自治与国家规制的边界选择[D].中国政法大学,民商法,2013,硕士.
[17]申科,王建赜,班明飞,纪延超,蔡兴国.基于零序电压注入的模块化多电平变流器故障容错控制[J].电力系统自动化,2014,05:96-102.
[18]杨青苗.负荷超声心动图检测冠心病室壁运动异常及室壁冠脉血供对应关系的研究[D].山西医科大学,影像医学与核医学,2003,硕士.
[19]冯加存.调节个人收入分配的税收政策研究[D].山东财经大学,财政学,2012,硕士.
[20]付莉.“静止”理念对阿沃·帕特钟鸣音乐创作的影响及相关技术类型[D].天津音乐学院,作曲,2014,硕士.
[21]吴桐.区域似大地水准面精化在测量中的应用[D].西安科技大学,大地测量学与测量工程,2013,硕士.
[22]邵文杰.农村妇女乳腺疾病筛查项目评价[D].浙江大学,社会医学与卫生事业管理（专业学位）,2013,硕士.
[23]郝天佑.光导纤维应用与光纤传感技术(讲座一)[J].冶金自动化,1986,04:46-50.
[24]兰婷.新老驾驶员危险感知差异性实验研究[D].西南交通大学,安全技术及工程,2013,硕士.
[25]胡公博.音系标记性：来自汉语的证据[D].广东外语外贸大学,外国语言学及应用语言学,2013,硕士.
[26]唐瑜.工业CT断层图像重建及三维可视化技术[D].中北大学,电子与通信工程（专业学位）,2014,硕士.
[27]席阿妮.在我的路上寻找我生命的意义[D].西南大学,中国现当代文学,2013,硕士.
[28]张燕平,张顺,钱付兰,张以文.基于用户声誉的鲁棒协同推荐算法[J].自动化学报,2015,05:1004-1012.
[29]丁娜.高职学生职业能力协同培养研究[D].广东技术师范学院,职业技术教育学,2014,硕士.
[30]李金红.城市社区建设中社区权力结构的重组[D].华中师范大学,政治学理论,2004,硕士.
[31]李孟刚.产业安全理论的研究[D].北京交通大学,2006.
[32]曹玮.我国国企高管薪酬激励约束机制研究[D].武汉纺织大学,工商管理,2014,硕士.
[33]孙至端.呼和浩特市玉泉区旅游营销研究[D].内蒙古大学,工商管理,2013,硕士.
[34]姚春安.秦川集团内部财务控制的研究[D].西安理工大学,工商管理,2004,硕士.
[35]陈坚潮.品牌形象在电子商务B2C平台的传播应用研究[D].广东工业大学,设计学,2013,硕士.
[36]何强.医疗器械制造业跨国并购品牌资源整合研究[D].北京交通大学,工商管理（专业学位）,2013,硕士.
[37]郑磊.基于静态一般均衡模型的我国近年来通胀成因研究[D].西北师范大学,统计学,2013,硕士.
[38]田聪聪,文明浩,刘航,何志勤.基于相邻变电站信息融合的广域后备保护系统[J].电力系统自动化,2012,15:83-90.
[39]武晓莉.T2DM大鼠凝血纤溶系统的变化及择时有氧运动干预作用[D].苏州大学,运动人体科学,2012,硕士.
[40]张红艳.中国鱚（Sillago sinica）群体形态学及遗传学研究[D].上海海洋大学,临床兽医,2013,硕士.
[41]丰艳萍,武涌.节能运行监管——我国大型公共建筑节能管理的必然选择[J].暖通空调,2007,08:8-12+49.
[42]王姣彧.主题式CBI模式在大学英语阅读教学中的应用研究[D].沈阳师范大学,外国语言学及应用语言学,2013,硕士.
[43]卢俊龙.基于交错并联Buck的空间电源充电技术研究[D].哈尔滨工业大学,电气工程,2013,硕士.
[44]刘伟.汉川市基础教育信息化现状分析与对策研究[D].华中师范大学,现代教育技术,2014,硕士.
[45]叶宁.基于J2EE的道路交通违法信息系统设计与实现[D].电子科技大学,软件工程（专业学位）,2012,硕士.
[46]邱瓅瑶.未来工作自我对员工创造力的影响：观点采择与创造力自我效能感的中介作用[D].苏州大学,应用心理（专业学位）,2014,硕士.
[47]刘贺华.拓扑绝缘体表面态与磁性原子相互作用的第一性原理研究[D].郑州大学,2014.
[48]王薇,张博,李鹏.SinamicsS120高品质集成电控柜的散热设计[J].冶金自动化,2014,04:72-75.
[49]曹焱.基于双目立体视觉信息的三维重建方法研究[D].吉林大学,控制理论与控制工程,2013,硕士.
[50]毛广军.韩石山文艺思想研究[D].湖北民族学院,文艺学,2013,硕士.