矩阵关于特定秩的加性分解

【摘要】矩阵分解一直是线性代数领域一个重要课题.近年来,一些学者证明了矩阵的某些性质可由秩为k的矩阵完全决定,这里k是某个固定的正整数.基于此,秩-k矩阵将是一个有意义的研究课题.我们将在本文中深入研究Mn(K)中的所有秩为k的矩阵,主要的研究方向是将一个矩阵分解成有限个秩为k的矩阵的和.首先,本文将对Franca定理进行推广.在这里,我们先将这一定理叙述如下：Franca定理[13,Theorem3]令Mn(K)表示域K上的n×n矩阵环,其中特征K≠2,3,z是Mn(K)的中心.取定s∈{2,…,n-1},G是从Mn(K)到Mn(K)的加性映射,如果对所有的秩-s矩阵x∈Mn(K),都有G(x)x=xG(x),那么有λ∈Z与加性映射μ：Mn(K)→Z,使得对任意的x∈Mn(K),都有G(x)=λx+μ(x).本文将利用矩阵的加性分解来解释Franca定理,并且在这个过程中我们发现特征K≠2,3这一条件并不是必要的.进一步,受这一方法的启发,我们注意到每个矩阵都可以分解成有限个秩为k的矩阵的和.具体地,我们证明了如下结果.定理3.1n>1是一个正整数,Mn(K)表示域K上的n×n矩阵环.取定1≤r,s≤n,存在由r和s确定的正整数t(R,s)>0使得对于k≥t(r,s),每个秩-r矩阵可以表示成k个秩-s矩阵的和;对于k<t(r,s),每个秩-r矩阵不能表示成k个秩-s矩阵的和.更具体地,我们有(1)如果s|r|那么t(r,s)=r/s；(2)如果r<s,那么t(r,s)=2；(3)如果r>s并且s(?)r,那么t(r,s)=[r/s]+1,其中[r/s]表示不超过r/s的最大整数.随后,我们又利用这一结果得到了一个加性映射的性质,具体结果如下.定理3.2令n>1是一个正整数,Mn(K)表示域K上的n×n矩阵环.f：Mn(K)→Mn(K)是一个映射,如果对任意两个可逆矩阵a,b∈Mn(K),都有f(a+b)=f(a)+f(b)),那么f是一个加性映射.
【作者】衣晓飞；
【导师】杜现昆；徐晓伟；
【作者基本信息】吉林大学，基础数学，2014，硕士
【关键词】秩-k矩阵；矩阵的加性分解；加性映射；

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