P~3的示性函数和Moment-Angel流形的Partial-商

【摘要】这是一篇与环面拓扑相关的博士学位论文,主要关注如下两个问题：(1)三维单凸多面体示性函数存在性；(2)m-gon上Moment-Angle流形的Partial-商的分类.1991年,Davis和Januszkiewicz在文献[19]中研究了带有局部标准Tn-作用或Zn2-作用,且轨道空间为n-维单凸多面体Pn的流形M2n或Mn,这两类流形分别称为quasi-toric流形或smallcovers利用流形上群作用的信息,可以给出多面体Pn上的一个Zn-染色或翟-染色,此染色也称为Pn上的一个示性函数λ.我们将带有染色的多面体记为(P,λ),他们在文章中证明了：quasi-toric流形和smallcovers的上同调环可以用(Pn,λ)来描述,它们的几何拓扑也可以由(P,λ)唯一确定.换言之,研究quasi-toric流形或smallcovers等价于研究(Pn,λ).Davis和Januszkiewicz在文献[19]中还介绍了一类Tm-流形Zp,其轨道空间为Pn,m为Pn的余维数为1的面的个数.这类流形有如下的万有性质：对每个quasi-toric流形π：M2n-→Pn,都有一个主Tm-n-丛Zp-→M2n,其和π的复合就是ZP的轨道映射.流形Zp使我们能更好的理解环面拓扑的代数对象与组合对象之间的内部联系.2000年,Buchstaber和Panov在文献[9]中对流形Zp给出了更一般的定义,并命名为Moment-Angle流形.他们对任意n-维单凸多面体P定义了Moment-Angle流形ZP和Buchstaber-不变量s(P).利用新的概念和方法,他们给出了任意单凸多面体P上存在示性函数的充分必要条件和一些等价的描述,给环面拓扑的研究带来了新思路.通过Buchstaber和Panov的结论,我们给出了P3上示性函数存在性的新证明.利用新证明的方法,可以简洁的证明“五色定理”,即任意3-维单凸多面体都可以用5种颜色染色,使得相邻面染色不同,进一步,我们对四色定理进行了探讨,给出了四色定理证明的一个新思路,并指出了该思路的困难所在,加深了对四色定理的理解.因存在Tm的子群H(1≤dimH≤m-n)自由作用在Zp上,商映射n:Zp→Zp/H为主H-丛.我们称ZP/H为Zp的Partial-商流形.特别地,当dimH=m-n时,Zp/H为P上的quasi-toric流形,这把二者联系起来.这种联系有助于我们把示性函数的概念从quasi-toric流形和SInallcovers推广到ZP及其Partial-商流形上.首先,对Orlik和Raymond于1970年在文献[54]中给出的关于4-维toric-流形分类定理,我们用示性函数的语言,给出了一个简洁的新证明.其次,利用此定理和推广的示性函数,我们给出了m-gon上的Moment-Angle流形及其Partial-商流形的一种分类.最后,就我们所考虑的问题和环面拓扑领域其它问题,比如：刚性问题、共轭问题和实的、复的Buchstaber-不变量的计算等问题之间的联系进行了阐述.
【作者】刘登品；
【导师】吕志；
【作者基本信息】复旦大学，基础数学，2012，博士
【关键词】四色定理；环面拓扑；quasi-toric流形；smallcovers；示性函数；Moment-Angle流形；partial-商；

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