离散可积系统的精确求解方法

【摘要】本文研究了离散可积系统的精确求解问题,使用的方法有三种：达布变换法,反散射变换法和Hirota双线性方法.首先是研究离散可积系统的达布变换法.在第三章中我们考虑Hirota-Miwa(链KP)方程及其势形式(链势KP方程),引进其微分-差分线性表示,其微分形式来自于连续KP方程族的第一个流x且与Hirota-Miwa方程的差分线性表示相容.因此,与通常结论不同,我们不仅给出差分形式的,同时也给出微分形式的达布变换和二元达布变换,进而所得N-孤子解可以用Wronski、Casorati以及连续和离散的Gram行列式来表示.特别地,我们发现,在离散可积系统中,对于不存在共轭关系的两个线性系统,仍然可以构造其二元达布变换,这与经典理论是不同的.之后,由于达布变换在适当的约化条件下具有不变性,我们研究了Hirota-Miwa方程的若干约化系统及其达布变换和精确解,包括链(势)KdV方程,链势mKdV方程以及链势修正Boussinesq(mBSQ)方程.其次是研究离散可积系统的反散射变换法.在第四章中我们以非自治H1方程为研究对象.在正散射部分,顺利讨论了变系数二阶线性常差分方程的初值问题,解出波函数并分析其解析性；进一步通过Casorati行列式,定出散射数据.在反散射部分,引进恰当的平移变换,导出离散的GLM积分方程.因此,理论上来说在无反射势情形下,利用离散GLM积分方程可求出非自治H1方程的孤子解.该部分工作需要进行更深入的探讨.最后是研究非自治H1,H2,H3δ和Q1δ方程的双线性化和Casorati行列式解.采用的方法是利用恰当的形变关系将带链参数的自治双线性方程转化成相应的非自治形式,在此基础上反过来通过变量变换由所得非自治双线性方程推导出可积的非自治ABS链方程.特别地,从所得结果可以看到这些形变关系保持自治和非自治形式的ABS链方程精确解结构的一致性.
【作者】施英；
【导师】张大军；JonathanNimmo；
【作者基本信息】上海大学，应用数学，2014，博士
【关键词】离散可积系统；达布变换法；反散射变换法；双线性方法；

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