两类线性方程组的预处理技术及数值求解方法

【摘要】大型稀疏线性方程组Ax=b和多右端项线性方程组AX=B是很多科学计算与工程应用问题的核心,能否有效求解这两类线性方程组直接影响着原问题的求解.因此,构造这两类线性方程组的高效解法是数值代数及相关学科的研究热点之一.作为当前最流行的一类方法,Krylov子空间法往往能通过比较适中的计算量和存储就能得到这两类线性方程组较为满意的解.然而,由于子空间维数(如重启的GMRES法)或其他条件的限制,Krylov子空间法在实际计算过程中也会出现收敛较慢的情形.此时,常用的技巧就是对原线性方程组进行预处理然后再利用相应的方法求解.本文利用变化预处理和多项式预处理技术构造了求解Ax=b和AX=B的一些高效数值方法,并给出了相应的理论成果,具体研究工作可概括如下：1.CMRH方法是一种求解线性方程组Ax=b的有效方法.相比GMRES,CMRH每次迭代计算量和存储更少,但收敛性质与GMRES相当.考虑到计算量和存储问题,在实际使用时常常对CMRH重启,而这可能会导致算法收敛变慢甚至停滞(重启的GMRES方法亦有类似的不足).已有文献中未见有将变化预处理用到该法的记载.本文利用变化预处理的思想改进了CMRH方法,提出了一种变化预处理的CMRH方法。同时,还从残量范数的角度研究了改进后的方法与原CMRH之间的联系.数值例子表明变化预处理的CMRH方法的收敛速度明显比原方法快,所用CPU时间也要少得多；2.整体CMRH方法是CMRH的一种推广,可用于求解多右端项线性方程组AX=B,其理论基础是整体Hessenberg过程.为节省每步迭代的计算量和存储,在实际使用过程中常采用重启的整体CMRH方法,而这会导致原算法收敛速度变慢.为克服(缓解)这种不足,本文从整体CMRH方法本身出发,构造一种低次的多项式预处理子来加速原方法.同时,从理论上证明了当右端项矩阵为方阵时,这样选取的多项式预处理子可以较好地近似于A-1.数值实验表明,这种从整体CMRH方法本身构造的预处理子能够明显加速原方法；3.整体广义Hessenberg方法是求解多右端项线性方程组AX=B的一类方法,其理论基础是广义整体Hessenberg过程,并以整体CMRH方法和整体GMRES方法作为特例.本文利用变化预处理来加速这类方法,得到了一类称之为变化预处理的整体广义Hessenberg方法.特别地,还研究了该法的两种特例,即变化预处理的整体GMRES方法和整体CMRH方法.本文还从残量范数上研究了改进后的方法与原方法、变化预处理的整体GMRES和整体CMRH等方法之间的联系.数值实验验证了变化预处理的方法能够有效地加快原方法的收敛速度.
【作者】张科；
【导师】顾传青；
【作者基本信息】上海大学，计算数学，2014，博士
【关键词】线性方程组；多右端项；Krylov子空间；整体方法；预处理；数值解；

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