分形插值函数可微性的研究

【摘要】本论文由五部分组成.第一部分是引言.首先介绍分形概念以及分形理论在数学方面的几个主要研究方向.其次,介绍分形插值函数的概念及其分类.分形插值函数(简记为FIF)最早是M.F.Barnsley于1986年在迭代函数系(简记为IFS)基础上提出来的.分形插值函数由迭代函数系{K,蚍：i=1,2,…,n}确定.按照迭代函数系的不同,可以分为仿射线性插值函数(AFIF)与非线性分形插值函数(NLFIF)两大类,前者是由LIFS确定的,后者则是由NLIFS确定的.若qi如(1.2.6)式定义qi(x)=goLi(x)-αib(x),则称由此NLIFS定义的FIF为关于g的α分形函数,记为gα.第三,介绍[0,1)上的Walsh函数系及逻辑导数,并介绍局部域的概念与性质,以及其上的p-adic导数与积分.最后,给出亚纯函数的Nevanlinna值分布理论中的一些常用记号、定义,与本文有关的主要基础理论.第二部分证明关于AFIF与NLFIF的可微性的一些结论.我们的工作集中在对一类α分形函数的可微性的研究,得出这类函数不可微点在定义域中稠密的一个判别条件,并就这一条件以Weierstrass函数为基础给出几个例子.首先,介绍由(2.1.2)、(2.1.3)定义的AFIFf(x)在开区间(0,1)上无处可微的几个结果.1.设yN≠y0.若对每个i∈{1,2,…,n}都有且存在某个j∈{1,2…,n},使得αj≠N/1,则f(x)在开区间(0,1)上是无处可微的.2.若对每个i∈{1,2,…,n}都有成立,则f(x)在开区间(0,1)上是无处可微的.3.若对每个i∈{1,2,…,n}都有丨αi丨≥N/1,且对每个i∈{1,2….,n-1}都有则.f(x)在开区间(0,1)上是无处可微的.对f(x)加上一些限制,得到§2.1中定义的双曲分形插值函数f*(x).若对每个i∈{2,3,…,n}都有αi≥0或者存在某个j∈{1,2,…,n},使得%=0,则f*(x)在(0,1)上几乎处处可微.其次,对NLFIF的光滑性的研究分两个部分：一是介绍由NLIFS(2.2.1)确定的NLFIF连续模的一些结论；二是对α分形函数的可微性进行研究,我们得出以下结论.定理2.2.2若存在i∈{1,2,…,n},使得αi=0,且夕∈C1[0,1],则夕α在(0,1)上是几乎处处可微的.基于Navascues的定理2.2.3(所有纵向尺度因子αi取相同值)所得的结论,我们证明了引理2.2.2,并推广到了更一般的情形,得到定理2.2.4,因此具有更广泛的适用性.定理2.2.4设g∈C1[0,1],若对每个i∈{1,2…,n}都有αi≥N/1,且g’(x)在Ⅰ的任一非空开子区间上都不等于yN-y0,则9α的不可微点集在Ⅰ上是稠密的.这一部分的最后给出几个例子作为定理2.2.3与定理2.2.4的应用.主要思路是以Weierstrass函数为基础,找出它相应的迭代函数系特别地,当纵向尺度因子αi=2-λi,i=1,2不相等时,我们构造出一类处处连续但不可微点在定义域中稠密的Weierstrass型函数.第三部分中,首先,构造了一个定义在局部域Kp上的如下其中丨αn丨<1,φn：D→R属于Kp上的Lipschitz类Lip(γn,Kp),且γn≥1.因此,我们得到以下结论.定理3.2.1令{L,wn：n=0,1…,p一1}为式(3.2.1)所定义的IFS,其中则存在L上的超距dL*使得IFS(3.2.1)dL*吃之下为双曲的.特别地,存在惟一非空紧致集GcL使得由上述定理,我们给出了局部域Kp上的分形插值函数(LFFIF)的定义,并得到了LFFIF的显式表达式.性质3.2.1设f：D→R为由IFS(3.2.1)所确定的LFFIF对每个DcKp中的元有否则,我们约定且移位算子σ：D→D定义为即其次,计算由IFS(3.3.1)确定的FIF的2进逻辑导数以及由IFS(3.3.6)确定的FIF的p进逻辑导数.结论如下.定理3.3.1设.f(x)为IFS(3.3.1)确定的FIF.则其W-F系数为当.时,其中约定且且且’定理3.3.2设f(x)为IFS(3.3.1)确定的FIF.则在[0,1)上一致成立,其中ck,k=0,1,…由(3.3.4)及(3.3.5)式给出.定理3.3.3设f(x)为IFS(3.3.6)确定的FIF.则.f(x)的广义W-F系数满足当时,其中且对每个,定义且定理3.3.4设f(x)为IFS(3.3.6)确定的FIF.则在[0,1)上一致成立,其中ck,k=0,1,…由(3.3.8)及(3.3.9)式给出.定理3.3.5设f(x)为IFS(3.3.6)确定的FIF.若极限在Ⅰ上的每一点都存在,则f<1>(x)存在,且其中p≥2为正整数.再次,进一步讨论了由IFS(3.2.1)确定的LFFIF的光滑性,得到以下重要结论.引理3.4.1设.f：D→R为由HIFS所确定的LFFIF,其中且则f为D上的连续函数.进而,我们有利用以上引理及已有的局部域上的重要引理,得到了相应的LFFIF的光滑性.定理3.4.1设.f：D→R为由HIFS(3.4.1)所确定的LFFIF,其中丨α丨<1,且f在式(1.3.5)定义的p型导数意义下是m阶可导的,其中我们将上述定理推广到更一般的情形.定理3.4.2令f：D→R为由HIFS(3.2.1)所确定的LFFIF,其中对每个有丨αn丨<1,γn≥1且令且则.f在式(1.3.5)定义的p型导数意义下是m阶可导的,其中利用定理3.4.2进一步证实了二进域K2上的Weierstrass函数在由式(1.3.5)定义的p型导数意义下是m阶可导的,其中m<2-s.最后,比较了R上的FIF与Kp上的LFFIF的异同,其本质差别是由其底空间结构的本质差异造成的.本文中应用了只在Kp上成立而在R上不成立的一个重要结论并由此得到了LFFIF的光滑性.第四部分研究一类复函数差分方程的亚纯解的增长级,并得到以下结论.定理4.1.6假设f(z)为函数差分方程的一个超越亚纯解,其中cv(v=1,…,n)为相异的复常数,以及为两个有限指标集,为次数k>1的多项式,且Q(z,u)为u的满足的一个有理函数.进而假设方程(4.1.3)的所有系数都是关于f的小函数.记则qk≤σ,且其中定理4.1.7假设.f为方程的一个超越亚纯解,其中cv(v=1,…,n)为相异的复常数,以及为两个有限指标集,a,b∈C且Q(z,u)为u的满足的一个有理函数.进而假设方程(4.1.4)的所有系数都是关于f的小函数.记(ⅰ)若0<丨αl<1,则(ⅱ)若lα丨>1,则q≤σ且(ⅲ)若丨α丨=1且q>σ,则μ(f)=ρ(f)=∞.在第五部分中提出一些开问题.
【作者】李晶；
【导师】廖良文；
【作者基本信息】南京大学，基础数学，2014，博士
【关键词】分形插值函数；可微性；迭代函数系；亚纯；光滑性；局部域；开区间；可导的；尺度因子；复常数；

【参考文献】
[1]PavelParhomenko.商务合作伙伴—中国：德国中小型企業业的机遇和风险[D].宁波大学,MastersinBusinessAdministration（专业学位）,2013,硕士.
[2]侯晨亮.基于消费者行为视角下的中国电视剧营销模式创新研究[D].宁波大学,工商管理（专业学位）,2012,硕士.
[3]于然亭.群众路线视角下的党政领导干部竞争性选任制度研究[D].华中师范大学,国家治理与考选制度,2014,硕士.
[4]郑健,鞠由克.客滚船在渤海湾大风浪中的操纵与航法[J].航海技术.2005(01)
[5]牛毅.监控联网综合代理接入系统的设计和实现[D].北京交通大学,软件工程（专业学位）,2013,硕士.
[6]董卫.陕西煤业化工集团煤炭大宗商品交易第三方支付业务方案研究[D].西安科技大学,工商管理,2014,硕士.
[7]苏小庆.我国制造业服务化的驱动因素、过程与保障机制[D].西北大学,企业管理,2013,硕士.
[8]刘琼.武汉市人民政府信息透明度评价[D].华中师范大学,行政管理,2014,硕士.
[9]高娜.日本的文化外交及其对中国的启示[D].河北师范大学,国际政治,2013,硕士.
[10]龙飞.OpenFlow交换机关键技术研究与实现[D].国防科学技术大学,计算机技术,2012,硕士.
[11]孔祥兴,王曦,张绍基,尹长志,王祥宇.民用涡扇发动机起动过程改进的分段组合控制计划研究与试验[J].航空动力学报,2014,12:2924-2929.
[12]陈家坚.新型耐热炉排材质的组织和性能研究[D].华南理工大学,材料加工工程,2012,硕士.
[13]丁鼎.传感器网络中能量优化策略研究[D].山东师范大学,计算机应用技术,2013,硕士.
[14]成敬周,徐政.直流输电共用接地极线方式的保护特性[J].电力系统自动化,2012,14:77-82.
[15]陈萍.提高中国地质图书馆使用率的路径研究[D].中国地质大学（北京）,公共管理,2013,硕士.
[16]张新月.深交所信息披露考评制度对上市公司盈余管理的影响研究[D].河北经贸大学,会计学,2012,硕士.
[17]李丰.连续梁桥地震响应分析及横向减隔震设计[D].长安大学,桥梁与隧道工程,2013,硕士.
[18]何磊.商业银行服务营销研究[D].广东工业大学,2003.
[19]王伟.KT-10型调速器及其应用[J].有色金属(选矿部分).1996(04)
[20]张丽霞.航空货运飞机装载问题研究[D].南京航空航天大学,交通运输规划与管理,2012,硕士.
[21]刘祥.湖北省几处土地整理对土壤质量的影响[D].华中农业大学,水土保持与荒漠化防治,2014,硕士.
[22]黄宇飞.基于实测数据的电推进器推力估计及绕飞轨道保持[D].哈尔滨工业大学,飞行器设计,2013,硕士.
[23]姚连营.高校校园网络文化建设和管理研究[D].浙江大学,2009.
[24]霍二阳.晋宋隐逸新风尚与山水艺术[D].河北师范大学,中国古代文学,2014,硕士.
[25]顾晓旭.推拿针刺治疗小儿腹泻文献临床效应的DME法分析[D].甘肃中医学院,针灸推拿学,2014,硕士.
[26]李涧青.远程空空导弹复合制导与控制问题研究[D].哈尔滨工业大学,航天工程,2014,硕士.
[27]李德敏,黄双喜,曹健,张友良.Fuzzy决策中有限方案的群体一致性评价方法与算法[J].控制与决策,1999,01:15-19.
[28]鲁仁伟.具有有向拓扑和时滞的非线性二阶多智能体的一致性[D].扬州大学,应用数学,2012,硕士.
[29]马彦彦,李国发,张星宇,田纳新,祝文亮,翟桐立.叠前深度偏移速度建模方法分析[J].石油地球物理勘探,2014,04:687-693+3.
[30]黄文俊.民族品牌的开发—水龙头设计研究[D].湖北工业大学,工造（专业学位）,2014,硕士.
[31]慈浩粟.P物质和降钙素基因相关肽在正常及炎性牙龈组织中的表达差异研究[D].山东大学,口腔临床医学,2013,硕士.
[32]夏正泽.异步牵引电机温度场分析[D].北京交通大学,2008.
[33]仇沭.数据挖掘在证券业CRM系统客户细分模块的研究与分析[D].湖南大学,软件工程,2013,硕士.
[34]陈思思.英汉语序对比研究[D].大连海事大学,外国语言学及应用语言学,2013,硕士.
[35]徐平平.基于DNA和氧化石墨烯纳米材料的生物传感研究[D].鲁东大学,材料学,2013,硕士.
[36]孙欣,张庆灵,杨春雨,邵永运,苏湛.离散奇异时滞系统时滞依赖稳定性分析与镇定(英文)[J].自动化学报,2010,10:1477-1483.
[37]杨冬.幕墙安装建筑机器人系统关键技术研究[D].河北工业大学,2013.
[38]李艳.不同小麦品种氮磷素利用效率的遗传差异研究[D].河南农业大学,作物遗传育种,2004,硕士.
[39]梁泰文,阳宪惠.CAN/Internet嵌入式网关的一种设计方案及实现[J].冶金自动化,2004,02:5-10.
[40]张祥楹.论民事举证责任的分配[D].中国政法大学,法律,2004,硕士.
[41]王彤承.数据挖掘在电力营销决策支持系统中的研究与应用[D].华北电力大学（河北）,2004.
[42]皋军,黄丽莉,王士同.基于局部子域的最大间距判别分析[J].控制与决策,2014,05:827-832.
[43]王浩云.横向价格联盟法律规制之比较研究[D].华侨大学,经济法学,2004,硕士.
[44]张艳.256层螺旋CT尿路成像在输尿管疾病中的诊断价值[D].吉林大学,临床医学,2013,硕士.
[45]邢威.计量信息管理系统的设计与开发[D].吉林大学,软件工程,2013,硕士.
[46]马路兴.高压下应力路径对饱和砂土力学特性的影响研究[D].中国矿业大学,地质工程,2014,硕士.
[47]贾方方,贺奎,安明喆,王二坡,路振宝.粗合成纤维活性粉末混凝土抗弯韧性试验[J].建筑科学与工程学报,2014,03:79-84.
[48]李嘉年.梅山3号高炉分离式热管换热器的设计及运行[J].炼铁.1998(01)
[49]曹筱筱.基于区域差异系数的企业可持续发展能力评价研究[D].重庆大学,企业管理,2014,硕士.
[50]喻汉夫.嵌入单纯复形进欧式空间的几何测度[D].湖南师范大学,基础数学,2014,硕士.