网络动力学格点参数各向异性效应的研究

【摘要】网络上的个体通过相互耦合自发地表现出各种群体行为,如同步、震荡死亡、共振等。自从小世界网络和无标度网络关于复杂网络的两篇开创性的工作的出现,复杂网络上的动力学一直吸引着众多研究者的极大兴趣。由于现实中个体之间相互作用的拓扑结构可看作一个网络,因此,网络上的耦合非线性振子模型对研究各种群体行为提供了一个简单而有效的数学工具。由于实际个体之间总是存在着差异的,我们通过数值模拟和理论分析的方法,重点研究非全同的个体的参数各向异性(parameterdiversity)对网络上的动力学的影响,包括：噪声对耦合的神经元模型的放电频率的影响；两类不同的相同步过程,簇状相同步和无簇相同步过程,二者之间的联系；复杂网络上和环上的谐振子模型的振动频率,如何依赖于振子具体的空间排布位置。第一章我们概括介绍了复杂网络的一些基础知识,如介绍了网络的一些统计特性,如度分布、聚类系数、平均路径长度等；一些常用的复杂网络模型,包括随机网络、无标度网络、小世界网络；以及复杂网络上的动力学的一些研究状况。第二章,我们研究了噪声对耦合的FHN神经元模型尖峰放电频率的影响,即研究了不同噪声强度下神经元的放电频率随耦合强度变化的规律。我们发现,随耦合强度的增加神经元的放电频率会先增加后减小,并且随噪声强度的增加,存在一个急剧增加情形到缓慢增加情形的转变过程。另外,对非全同的神经元,只有当系统的耦合强度足够大到某个临界值时,系统中的每个振子才会同时具有相同的放电频率。放电频率的这种先增加后减小的行为和等时同步行为是噪声驱动下耦合的神经元的基本行为。第三章,我们在第二章的基础上,进一步的考虑神经元模型中出现的无簇的相同步过程与通常的簇状相同步过程之间的区别和联系。通常的簇状相同步过程表现为,随耦合强度的增加,系统会形成很多簇,任意两个相邻的频率相近的振子会率先同步形成一个局部的簇,在系统同步之前会表现为复杂的簇形成,形如分岔树。无簇相同步过程为,只有当系统的耦合强度足够大到某个临界值时,系统中的每个振子才会同时具有相同的频率,在此之前没有局部的簇出现。我们研究了大量的物理、生物、生态模型,结果表明众多的系统都表现为两种相同步过程的某一种。另外,我们还得到噪声的出现会使得系统从一种相同步过程转变为另一种相同步过程。这表明它们源于系统本身内在的随机性强弱。第四章,我们研究了复杂网络上耦合非全同的谐振子振动频率的最优化排布问题。振子质量的空间排布构型如何影响系统的第二个最小的振动频率ω2和最大的振动频率ωN。考虑随机给定的一个网络,我们发现,当振子的质量与节点的度呈点点正相关时(称为点点匹配),ω2达到最大而ωN最小。另外,只需要把质量最重的振子安置在度最小的节点上就能使得ω2最小,而其他的振子则可以任意的放置；只需要把质量最轻的振子安置在度最大的节点就会使得ωn最大,同样的其他的振子可以任意的安置。这些结果表明节点动力学与节点位置的匹配关系能够决定整个系统的行为,甚至某些情况下,只需要控制某个节点的动力学行为就可以决定整个系统的行为。第五章,我们在第四章的基础上,研究了环上耦合谐振子的振动频率的最优排布构型问题。我们发现ω2和ωn最小的质量排布构型具有某种对称特性,质量相近的振子组成一个质量对,它们的位置属径向或镜像的对称,质量对之间的排列次序按照某些规则排列。另外,ωn最大的构型上振子的排布次序跟某个物理量的最大值有关。第六章为全文的总结。
【作者】刘帅；
【导师】占萌；
【作者基本信息】中国科学院研究生院（武汉物理与数学研究所），应用数学，2014，博士
【关键词】复杂网络；参数各向异性；放电频率；相同步；振动频率；操控；

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