非局域对称及保对称离散格式的研究

【摘要】对称理论在数学物理等众多领域的研究中起着越来越重要的作用,已成为研究非线性系统可积性质及精确求解的有力工具之一.基于对称理论及符号计算,本文主要开展了以下三个方面的工作：构造了多个非线性数学物理方程的非局域对称,得到了这些方程的一些新的精确解；研究了非线性演化方程保对称离散方法,并将此方法推广到构造高维方程的保对称离散格式；基于符号计算平台Maple,开发了构造非线性微分方程非局域对称的自动推演程序包.本文的主要内容如下：第一章作为绪论部分,重点介绍了对称理论、保对称离散、符号计算的背景与发展现状,并且阐明了本论文的主要工作.第二章研究了若干非线性微分方程的非局域对称.首先,提出了一个辅助系统构造微分方程非局域对称的方法.将此方法运用到几类经典方程上,如Boussinesq方程、MKdV方程、AKNS系统等,得到了这些方程的非局域对称,并将非局域对称局域化到相应的封闭系统；其次,利用Lie群方法研究PIB方程,得到了约化方程的非局域对称,并利用对称约化方法构造了此方程新的精确解；最后,将基于对称构造非局域对称的方法应用到非线性diffusion-convection方程,得到了此方程非局域相关的势系统,并通过势系统构造了方程多个新的非局域对称.第三章构造了几类经典方程的精确解.通过经典Lie群方法得到了封闭系统的对称群,构造了这些对称群的最优系统,并利用对称约化方法求得了这些方程一些新的精确解,如椭圆周期波和孤立子、椭圆周期波和扭结孤子相互作用解等.为了研究这些解的性质,对上述解选取适当参数并画出了相应的图像.第四章研究了非线性发展方程的保对称离散格式.利用保对称离散方法构造了MKdV方程、Boussinesq方程的保对称离散格式；提出了一种构造高维非线性发展方程保对称离散格式的方法,并利用此方法构造了(2+1)维Burgers方程的保对称离散格式.通过验证可知,得到的离散格式均继承了连续方程的Lie点对称.第五章开发了构造非线性微分方程非局域对称的程序包.基于微分方程的一些辅助系统,将提出的构造方程非局域对称的方法程序化,在Maple上编写相应的程序包NonSyml,并用多种不同类型的实例来说明此程序包的有效性,从而大大提高了构造非局域对称的效率.第六章对全文工作进行讨论和总结,并对下一步要进行的研究工作做了展望.
【作者】辛祥鹏；
【导师】陈勇；
【作者基本信息】华东师范大学，系统理论，2014，博士
【关键词】经典Lie点对称；非局域对称；精确解；保对称；离散格式；Backlund变换；符号计算；非线性发展方程；

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