薛定谔和泊松方程有限元法求解

【摘要】薛定谔方程是物理学描述量子力学的基本方程,其通常也被称为薛定谔波动方程,该方程介绍了物理系统中的波函数随时间推移演变的情况。同时,这个方程也在电磁波传播、水下声学、光纤和某些光电子器件的设计等实际问题中,它模拟了一种二维弱引导结构中的电磁波方程,特别是在大量的量子力学计算中得到了广泛的应用。泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程,其是描述静电场电位函数Φ与其源(电荷)之间的关系的微分方程。在现代光电器件的计算机模拟中,这两个方程的精确求解是一个核心问题。基于上述原因,建立一个有效的求解薛定谔方程和泊松方程的数值计算方法就成了一个非常重要的课题。本文经过对目前众多数值计算方法的比较,得出有限元法是求解给定边界条件下泊松方程和薛定谔方程的一种十分有效的数值计算方法。因此本文对有限元数值计算方法进行了分析,并利用有限元法求解了通用的薛定谔方程和泊松方程,得到了薛定谔方程和泊松方程有限元解算器。本文的主要完成工作如下：首先对有限元数值计算方程进行了仔细的研究,采用有限元法求解了通用的薛定谔方程和泊松方程,并详细给出了有限元法求解的具体思路和步骤。经过对目前存在的数值计算工具的调研,决定采用开源有限计算库libMesh来实现上述基于有限元法的薛定谔方程和泊松方程的计算器。最后给出了基于有限元法的二维泊松方程和三维薛定谔方程的计算实例,并给出了基于libMesh库的二维泊松方程和三维薛定谔方程的有限元解算器的部分关键源代码,并将计算结果进行了可视化,从而验证了有限元法求解的精确性和灵活性。最后将所开发的薛定谔方程和泊松方程的相关代码应用到本课题组太赫兹天线的计算机模拟中。
【作者】蒋建刚；
【导师】刘东峰；
【作者基本信息】广东工业大学，信号与信息处理，2014，硕士
【关键词】有限元法；薛定谔方程；泊松方程；libMesh；

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