具有间断系数的非线性混合型方程

【摘要】本文中,我们主要研究非线性混合型方程Tricomi问题解的存在性及其唯一性.偏微分方程按照类型可以分为三大类：椭圆型方程、抛物型方程以及双曲型方程.单纯的一种类型方程的研究已经非常成熟,但是对于其中两种类型或者三种类型方程的耦合来说,目前为止,还没有比较完整的理论.特别地,椭圆型方程与双曲型方程耦合方程的研究是非常困难的,我们把这类方程称为椭圆-双曲混合型方程.对于线性椭圆-双曲混合型方程的研究已有较多的结果,但是对于非线性椭圆-双曲混合型方程的理论是非常少的.另一方面,随着人们对物理学中问题的深入研究,许多数学模型都可以化为非线性椭圆-双曲混合型方程边值问题来研究.所以说无论从数学的角度,还是从物理的角度,研究非线性椭圆-双曲混合型方程边值问题都是非常重要的.本文中,我们所研究的问题正是基于E-H马赫反射提出来的.对于E-H马赫结构,在一部分区域上,相应的方程是双曲型的,另外一部分区域上,相应的方程是椭圆型的,并且系数在变型线上是间断的.因此这种类型方程的一个最简单模型就是Lavrentiev-Bitsadze方程(sgny)uxxx+uyyy=0.但是对于实际问题,上述方程过于简单,并不能真正地刻画原来的问题,为此需要研究更一般方程的边值问题.所以,这里主要研究两类具有Lavrentiev-Bitsadze方程性质的非线性方程,我们把它们称为非线性Lavrentiev-Bitsadze型方程.在本文第三章中,主要考虑如下方程的Tricomi问题uxx+(sgny)(1+ux2)uyy=0.在双曲区域中,方程是一个二阶的非线性双曲型方程,通过Riemann方法给出双曲区域中的形式解,进而将原问题化为一个椭圆混合边值问题,从而得到问题解的存在性.在本文第四章中,主要研究如下方程的Tricomi问题(sgnuy)uxx+uyy=1.当uy>0时,方程为椭圆型的,当uy<0时,方程为双曲型的,变型线uy=0是未知的.通过部分hodograph变换将问题化为一个固定的椭圆混合边值问题,进而证明原问题解的存在唯一性.
【作者】冯振国；
【导师】陈恕行；
【作者基本信息】复旦大学，基础数学，2013，博士
【关键词】非线性Lavrentiev-Bitsadze型方程；Tricomi问题；E-H马赫反射；Riemann方法；部分hodograph变换；混合边值问题；

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