特征蜕化的非线性椭圆方程的正则性估计及其在几何中的应用

【摘要】本文研究了三类在边界上特征蜕化的二阶椭圆型偏微分方程,其中涉及：Monge-Ampere方程的正则性,Alexandrov-Nirenberg曲面的紧性,半线性椭圆方程的L∞-模估计.第一部分以一类特定的二阶蜕化椭圆方程为模型利用Fourier变换构造了解的积分算子.然后利用各向异性的Calderon-Zygmund分解和震荡积分的技巧建立了该积分算子的Lp和Holder估计.第二部分研究边界为特征蜕化的Monge-Ampere方程的正则性,我们通过Ampere变换(又称,部分Lengendre变换)将边界附近的Monge-Ampere方程转化为相应的拟线性方程.应用第二章建立的解算子的正则性估计,我们证明了2维空间严格凸区域上,当右端为光滑函数时,边界上特征蜕化的Monge-Ampere方程的全局C3解一定是全局光滑的且高阶导数估计至多依赖于解的C1,1-模及其2-阶导数的连续模.第三部分研究Alexandrov-Nirenberg曲面的紧性.我们利用最大模原理得到曲面第二基本形式系数L,M,N的L∞-模估计.然后分别利用DeGiorgi迭代和爆破的技巧得到第二基本形式系数在边界上的一致Holder估计和一致Lipschitz模估计.最后利用第二章的正则性估计,我们得到了Alexandrov-Nirenberg曲面的紧性结论.文章的最后我们研究了一类在边界上特征蜕化的半线性椭圆方程的L∞-模估计.我们利用爆破的技巧把有界区域上的L∞-模估计转化成为在全空间或半空间上的一类特殊的半线性椭圆方程正解的存在性问题.我们利用移动平面法对次临界的情形得到了Liouville定理；对临界的情形得到了解的分类.利用相应的Liouville定理,我们可以得到有界区域上,在边界上特征蜕化的半线性椭圆方程的L∞-模估计.
【作者】黄耿耿；
【导师】洪家兴；
【作者基本信息】复旦大学，基础数学，2013，博士
【关键词】蜕化椭圆；特征蜕化；Monge-Ampere方程；正则性；等距嵌入；Alexandrov-Nirenberg曲面；爆破技巧；移动平面法；

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