逻辑代数系统的粗糙性与拓扑性质研究

【摘要】粗糙集理论是一种处理不完整与不确定信息并从中挖掘隐含知识、揭示潜在规律的理论方法.由于经典的Pawlak粗糙集是基于等价关系在不含代数结构和偏序结构的非空集合上建立的,从而在很大程度上限制了粗糙集的应用.为此,许多学者从不同角度利用不同方法对经典的粗糙集模型进行了推广,将代数系统或偏序集作为论域就是推广粗糙集的方法之一.本文的研究目的在于分别将MTL代数和Quantale作为论域,利用理想诱导的等价关系构造上、下近似算子,将粗糙集运用到MTL代数和Quantale中.同时,基于Zadeh提出的模糊集理论,在Quantale中引入模糊理想和粗糙模糊理想,从而将理想和粗糙理想纳入到统一的框架中.经典粗糙集中利用等价关系而构造的上、下近似算子分别是拓扑闭包、内部算子,则自然可在论域上导出拓扑,于是借用拓扑工具描述粗糙空间已成为一种新的研究方法.这类研究主要集中在讨论粗糙上、下近似算子与拓扑闭包、内部算子之间的关系上,而对论域上所导出的拓扑空间的性质和内蕴结构研究较少.本文的另一研究目的在于直接利用弱代数理想、理论和滤子诱导的(弱)同余关系分别在效应代数、经典命题逻辑的全体公式之集与R0代数上构建一致拓扑,深入研究该一致拓扑的性质和相应代数系统中算子的连续性.此外,我们还研究BL代数中极大滤子的结构刻画和拓扑性质,刻画出有限和由无限可数多个基本元生成的Boole代数中极大滤子的具体结构.全文共分五章：第一章介绍有关几类常用的逻辑代数和拓扑的基本知识.为更好地了解这些逻辑代数提出的背景,首先简要介绍命题逻辑系统的语构理论、语义理论及其完备性定理；然后介绍Boole代数、R0代数和MTL代数的定义与基本性质,为后面的章节展开做准备工作.第二章首先在MTL代数中引入理想的概念,并给出其等价刻画,并指出理想一定是格理想,但反之不真且构造了反例；然后由理想诱导等价关系,证明了此等价关系被∧,V,(?)运算所保持,当MTL代数是BL代数时也被蕴涵运算→所保持,从而为同余关系；再由理想诱导的等价关系导出上、下近似算子,深入研究它们的性质；最后讨论理想的上、下近似与其同态像的上、下近似之间的关系.第三章首先简要回顾Quantale中理想、粗糙理想和同余关系等概念,将同余关系推广为弱同余关系,给出由理想构造弱同余关系的具体方法和子集生成理想的构成方式,证明了在由理想I诱导的近似空间中,每个理想均为粗糙理想当且仅当I={0}；其次基于Zadeh提出的模糊集理论,将Quantale中理想概念模糊化,给出模糊理想的概念以及若干等价刻画,证明了全体模糊理想之集构成完备格,当Quantale是Frame时,其全体模糊理想之集也是Frame.在此基础上,进一步给出Quantale中模糊素理想、模糊半素理想与模糊预理想的概念及其相应的等价刻画,从而将分明的素理想、半素理想和预理想推广至模糊情形；然后将经典的Pawlak粗糙集理论引入到Quantale的模糊理想中,定义粗糙模糊理想、粗糙模糊素理想、粗糙模糊半素理想与粗糙模糊预理想,给出模糊素理想成为粗糙模糊素理想的充分条件；最后讨论上、下粗糙模糊理想与它们同态像的上、下近似之间的关系.第四章首先简要回顾效应代数中(弱)同余关系与弱代数理想的概念及其基本性质；利用弱代数理想在效应代数中诱导一致结构与一致拓扑(简称弱代数理想拓扑),证明了每个弱代数理想均可诱导一个一致拓扑空间,且该拓扑空间是第一可数的、零维的、不连通的、局部紧的完全正则空间,弱代数理想拓扑空间是Hausdorff空间的充要条件为诱导它的理想是零理想；最后借助网理论证明了效应代数中的部分二元运算(?)关于弱代数理想拓扑是连续的,并指出当弱代数理想为Riesz理想时,’运算与(?)运算以及格效应代数中的∨与∧运算关于弱代数理想拓扑也是连续的.第五章首先基于理论r在经典命题逻辑的全体公式之集F(S)上诱导的同余关系构造一致结构和一致拓扑,证明了导出的一致拓扑空间是零维的、完全正则的第二可数空间,且逻辑连接词一与→是连续的,并将上述一致结构与逻辑度量空间(F(S),p)中的由伪度量p诱导的一致结构进行了详细比较.作为应用,得到n个极大相容理论恰好将F(S)分成2n个两两不交的非空区域,且每个区域在逻辑度量空间中的直径均为1；其次清晰地刻画出有限和由无限可数多个基本元生成的Boole代数中极大滤子的具体结构.同时在BL代数的全体极大滤子之集上构建两种拓扑,详细讨论这两种拓扑的性质,给出它们相同的若干充分条件.特别当BL代数是由无限可数多个基本元生成的Boole代数时,上述两种拓扑相同且与Cantor三分集上的拓扑同胚;最后基于滤子诱导的同余关系,在R0代数中构造一致结构和一致拓扑,证明导出的一致拓扑空间是T0空间当且仅当诱导它的滤子是{1},得到R0代数中的’,V与→运算在该一致拓扑空间中均连续,此外还讨论商代数的拓扑性质.
【作者】罗清君；
【导师】王国俊；
【作者基本信息】陕西师范大学，基础数学，2014，博士
【关键词】命题逻辑；逻辑代数；模糊集；粗糙集；理想；极大滤子；同余；一致拓扑；

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