几类基于微分包含的不连续系统的动力学研究

【摘要】众所周知,泛函微分包含是泛函微分方程的一般化.为了处理和研究右端不连续的时滞微分方程的解的基本问题及其动力学行为,考虑到给定的向量场不再是光滑的或者是全局Lipschitz的,在经典的微分方程理论体系下的解可能不存在,本学位论文通过Filippov微分包含正规化,重新给出了右端不连续的时滞微分方程的Filippov解和在给定的初始值条件下的解的定义.并在此基础上,我们进一步借助泛函微分包含框架对不连续的变时滞微分方程和泛函微分包含的在Filippov意义下解的基本性质和稳定性问题进行了研究.这些基本问题主要包括：解的局部存在性、解的延拓性、解轨线各种不同的稳定性和收敛性行为(例如,全局渐近或指数稳定性、同步和拟同步性、全局耗散性和鲁棒稳定性)等等.通过对这些基本理论问题的研究,我们在一定程度上推广和改进了右端不连续的时滞微分方程和泛函微分包含理论.然后,我们把所获得的理论性成果应用到神经网络、生物学以及自动控制工程等科学与工程领域.我们主要从两方面着手研究.一是根据现实生产生活中出现的一些不连续现象,我们制定和探讨了不同领域中可由右端不连续微分方程来刻画的各种数学模型.并且通过构造Filippov集值映射(即Filippov正规化)把右端不连续的微分方程转化为微分包含.其二是在Filippov微分包含的框架内,综合运用集值映射的不动点理论、广义的Lyapunov方法、集值分析中的拓扑度理论、矩阵分析、矩阵测度理论和一些广义的不等式、非光滑分析等一些新颖的工具与方法来研究各种动力学行为.所研究的动力学行为主要有(正)平衡点、(正)周期轨、解的各种稳定性等等.本学位论文共分为五章.在第一章中,我们回顾了不连续微分动力系统和微分包含理论的研究历史与发展概况.同时,我们对不连续生物学动力系统和不连续神经网络动力系统的研究历史与现状进行了介绍.最后,我们简要地概述了本文的主要内容与结构安排.在第二章中,我们给出一些基本理论知识.剩下的几章是本文的主要工作,所得主要研究结果如下所述.在第三章中,我们首先推广一类重要的不等式：广义的Halanay不等式.可以说,在处理具有变时滞的泛函微分包含或者具有变时滞的不连续泛函微分方程的稳定性问题时,广义的Halanay不等式是一个非常有效的工具.其次,我们给出了具有单个和多个变时滞的泛函微分包含在Filippov意义下解的定义,然后主要对给定初值条件下Filippov解的延拓性问题进行了讨论,得到了关于解的有效性的两个重要定理.最后,我们借助广义的Halanay不等式着重处理了变时滞的泛函微分包含在扰动意义下Filippov解的稳定性问题.我们不仅通过构造径向无界的辅助函数分析了扰动意义下泛函微分包含的鲁棒耗散性和全局鲁棒稳定性,而且通过引进合适的状态-反馈控制器,研究了扰动意义下泛函微分包含的鲁棒拟同步性问题.在第四章中,我们提出了一个更加现实且更一般的不连续捕获管理策略,并将它引入到著名的Lotka-Volterra竞争系统.借助Filippov微分包含理论、集值映射的锥压缩-拉伸不动点定理、非光滑分析以及广义的Lyapunov方法,我们研究了正周期解的存在性、唯一性和全局渐近稳定性.此外,我们还讨论了捕获解的依测度收敛性.最后,我们也给出了一些推论和数值例子来验证主要结论的有效性.在第五章中,我们主要研究三大类不连续时滞神经网络系统的动力学行为.本章所用的工具和方法涉及到集值映射版本的不动点定理、广义的Lyapunov理论、集值分析中的拓扑度理论、M-矩阵理论、矩阵测度方法、一些广义的不等式技巧及微分包含理论框架等.首先,在不假设神经激励函数的有界性和单调性条件的前提下,我们详尽地分析了具有不连续激励函数和变时滞的细胞神经网络系统的周期解的存在性、唯一性和全局指数稳定性.而且我们也研究了该神经网络模型所对应的自治系统的输出解以依测度的方式收敛到一个输出平衡点以及任意的状态解在有限的时间内收敛到平衡点的性质.其次,我们对一类一般性的具有离散和分布时滞的不连续神经网络系统的周期动力学行为进行讨论.最后,我们建立一个基于忆阻器的双向联想记忆(BAM)的时滞神经网络模型,并研究了该类神经网络系统的全局耗散性和正周期轨的存在性.对这些不连续时滞神经网络系统动力学行为的研究也是对已有结果的推广和改进.
【作者】蔡佐威；
【导师】黄立宏；
【作者基本信息】湖南大学，应用数学，2014，博士
【关键词】泛函微分包含；Filippov解；神经网络；生物学动力系统；周期解；平衡点；稳定性分析；

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