纤维化粗嵌入非正曲率黎曼流形与高指标问题

【摘要】随着非交换几何迅速发展,C*-代数理论及它的K-理论计算在几何和指标理论中解决了很多问题.算子代数的研究越来越活跃,其中谱的不变性在C*-代数理论和K-理论研究中起着非常重要的作用,在这一领域有粗Baum-Connes猜测,粗Novikov猜测等一系列重要猜测.粗Novikov猜测提供了一种计算非紧完备黎曼流形上椭圆算子的高指标是否为零的方法.最近,陈晓漫,王勤,郁国樑在[CWY12]中证明了如果度量空间可以纤维化粗嵌入到Hilbert空间中,则对应的极大粗Baum-Connes猜测(蕴含极大粗Novikov猜测)成立.受[CWY12]的启发,我们研究了纤维化粗嵌入单连通非正截面曲率完备黎曼流形的概念和对于扩张图(expander)的高指标问题.本文主要是研究对于具有一致有界几何的有限度量空间粗无交并的纤维化粗嵌入单连通非正截面曲率完备黎曼流形的问题,并证明了从twisted局部化Roe代数K-理论到对应twistedRoe代数K-理论是同构.然后利用[SW07]中对应单连通非正截面曲率完备黎曼流形上一致几乎平坦Bott生成元定义了从Roe代数K-理论到twistedRoe代数K-理论的Bott映射和对应局部化代数上的Bott映射并且证明了该局部化上的Bott映射是一个同构.最后得到我们的主要定理：如果一列具有一致有界几何的有限度量空间的粗无交并X能够纤维化粗嵌入单连通非正截面曲率完备黎曼流形中,则X上的粗Novikov猜测成立.P.Jolissaint在[Jo190,Jo189]中证明了当离散群r具有性质(RD),则r上所有速降函数全体组成的代数是约化群C*-代数Cτ*(Γ)的谱不变子代数.受P.Jolissaint思想的启发,我们引进和研究了群的强速降性,即群具有性质(SRD),并证明了如果离散群r具有性质(SRD),则r上所有速降函数全体组成的代数是约化群Banach代数的谱不变子代数.作为例子,我们证明了Gromov双曲群具有性质(SRD).
【作者】王志杰；
【导师】郁国樑；陈晓漫；
【作者基本信息】复旦大学，基础数学，2013，博士
【关键词】粗Novikov猜测；粗几何；非正截面曲率流形；K-理论；性质(SRD)；约化Banach代数；谱不变性；双曲群；

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